Последовательность a[0], a[1], a[2], ... такова, что
a[n+1]>=a[n]^2+1/5.
Докажите, что при n>=5 верно неравенство
a[n+5]>=a[n-5]^4.
Задача была предложена на отборе команды США на Международную математическую олимпиаду в 2001 году.
Запишем неравенства a[n+1]-a[n]^2>=1/5 при n=k, k+1, k+2, k+3, k+4:
a[k+1]-a[k]^2>=1/5
a[k+2]-a[k+1]^2>=1/5
a[k+3]-a[k+2]^2>=1/5
a[k+4]-a[k+3]^2>=1/5
a[k+5]-a[k+4]^2>=1/5
и сложим их. Получим
a[k+5]-(a[k+1]^2-a[k+1])-(a[k+1]^2-a[k+1])-(a[k+1]^2-a[k+1])-(a[k+1]^2-a[k+1])-a[k]^2>=1.
Теперь заметим, что z^2-z>=-1/4 для всех z, потому что (z-1/2)^2>=0 и перегруппируем слагаемые в неравенстве:
a[k+5]-a[k]^2>=(a[k+1]^2-a[k+1])+(a[k+1]^2-a[k+1])+(a[k+1]^2-a[k+1])+(a[k+1]^2-a[k+1])+1>=4*(-1/4)+1=0.
Следовательно, a[k+5]>=a[k]^2.
Значит,
a[k+10]>=a[k+5]^2>=a[k]^4.
А теперь предлагаю читателям решить следующую задачу.
Пусть f(x)=x^2+1/5. Докажите, что f(f(f(f(f(x)))))>=x^2.