Всем привет!
Сегодня воскресенье и традиционная рубрика — статья на свободную тему. В этой публикации мы поговорим о двух замечательных точках треугольника, которые в англоязычном фольклоре называются Humpty point и Dumpty point, и которые очень похожи своим определением и набором свойств. Кстати, совсем не знаю, откуда пошло это англоязычное название. Мы будем их называть по Маршаку точками Шалтая и Болтая. Вообще это довольно обидно, что у нас для них нет фольклорного названия... Может быть оно после этой статьи появится?
Напоминаю, что следить за публикациями и немного влиять на контент можно на телеграм-канале Олимпиадная геометрия. Кстати, я в ближайшем будущем собираюсь опубликовать подборку задач с олимпиад последних четырех-пяти лет, в которых появляются точки Шалтая и Болтая. Если вы знаете такие, скидывайте в личку или пишите в комментариях... Итак, приступим.
Точка Шалтая
Пересечение окружностей и определение
Начнем со следующего несложного факта.
Утверждение Ш-1. Если точка P в треугольнике ABC такова, что окружности, описанные около треугольников APB и APC, касаются прямой BC, то точка P лежит на медиане треугольника, проведенной из вершины A.
По сути утверждается, что прямая AP делит отрезок BC пополам. Это мгновенно следует из того, что прямая AP является радикальной осью упомянутых в утверждении окружностей, и, тем самым, должна делить их общую касательную BC пополам. Но можно провести и честное, не менее полезное, рассуждение. Ведь самое важное, как оказывается, в этой конструкции это углы:
в случае остроугольного треугольника.
В случае тупоугольного треугольника с тупым углом A точки A и P меняются ролями. Однако в дальнейшем давайте считать для определенности, что треугольник ABC — остроугольный. Хотя я очень рекомендую читателям для лучшего понимания конструкций порисовать все дальнейшие картинки для тупоугольных случаев тоже.
Так вот, из равенства углов следует подобие треугольников
где M это точка пересечения прямых AP и BC. Из этого следует, что
и поэтому M — середина стороны BC.
Следующее наблюдение следует сразу из выписанного выше равенства углов.
Утверждение Ш-2. Точка P, описанная в утверждении 1 удовлетворяет условию ∠BPC=180 ° – α .
Очевидно это единственная точка на медиане треугольника, лежащая с той же стороны, что и вершина A треугольника, удовлетворяющая условию из утверждения 2.
Определение. Точка P, описанная в утверждении 1, называется точкой Шалтая треугольника ABC, или точнее — A-точкой Шалтая.
Далее для A-точки Шалтая используем обозначение Pa, а для B- и C-точек Шалтая — соответственно Pb и Pc. (На иллюстрациях я буду использовать нижний индекс.)
Связь с ортоцентром
Первое взаимодействие точки Шалтая Pa с ортоцентром H треугольника напрашивается сразу. Поскольку ∠ BHC=180°–α, верно следующее заключение.
Утверждение Ш-3. Точка Шалтая Pa лежит на описанной окружности треугольника BHC.
Если отразить точку A относительно середины M стороны BC, то получится такая точка A' , что четырехугольник BACA' — параллелограмм и точка Pa лежит на AA'. Точка A' диаметрально противоположна точке H на описанной окружности треугольника BHC, поскольку углы A'BPa и A'CPa прямые, поэтому ∠HPaA'=90°. Таким образом получаем одно из ключевых утверждений про точку Шалтая.
Утверждение Ш-4. Точка Шалтая Pa является проекцией ортоцентра треугольника на медиану из вершины A.
И мгновенные следствия.
Утверждение Ш-5. Ортоцентр H, основания высот из вершин B и C, вершина A и точка Шалтая Pa лежат на одной окружности.
Утверждение Ш-6. Точки Шалтая Pa, Pb и Pc лежат на окружности, построенной на отрезке, соединяющем ортоцентр с точкой пересечения медиан, как на диаметре.
Окружность Аполлония
Окружностью Аполлония (или точнее A-окружностью Аполлония) неравнобедренного треугольника ABC называется геометрическое место точек X таких, что
Очевидно, что на такой окружности лежит вершина A, основание биссектрис внутреннего и внешнего угла A, более того, на отрезке, соединяющем последние две, окружность Аполлония построена как на диаметре. Про окружность Аполлония можно было бы написать отдельную статью... но какое же она отношение имеет к точке Шалтая? А вот какое.
Утверждение Ш-7. Точка Шалтая Pa лежит на A-окружности Аполлония треугольника ABC.
Таким образом окружность Аполлония пересекает медиану в точке Шалтая. (Интересно, а где она пересекает медиану второй раз?)
Действительно, если M — середина BC, то треугольники BMPa и AMB подобны и
Аналогично,
поэтому
и точка Pa лежит на A-окружности Аполлония.
Про инверсию
Для точки Шалтая очень удобно смотреть на следующее важное геометрическое преобразование (инверсия+симметрия). Рассмотрим композицию инверсии относительно точки A с радиусом
и симметрии относительно биссектрисы угла A. В целом это преобразование ведет себя как инверсия, но при этом точки B и C попросту меняет местами. Давайте перечислим, что куда переходит при этом преобразовании.
- Прямая BC переходит в описанную окружность треугольника ABC.
- Окружность, описанная около треугольника APaB переходит в касательную в точке C к описанной окружности треугольника.
- Окружность, описанная около треугольника APaС переходит в касательную в точке B к описанной окружности треугольника.
- Точка Pa переходят в точку пересечения касательных к описанной окружности в точках B и C.
- A-окружность Аполлония переходит в серединный перпендикуляр к отрезку BC.
Из перечисленных свойств преобразования сразу следует часть утверждений выше. Разобравшись куда переходит ортоцентр, можно доказать и все остальные.
Странные свойства
Есть еще пара полезных наблюдений, которые предназначаются совсем уж продвинутым читателям.
Утверждение Ш-8. Точка Шалтая Pa и вершина A переходят друг в друга при инверсии относительно окружности с диаметром BC.
Это совсем просто и следует из того, что
однако из этого, в свою очередь вытекает, что любая окружность, проходящая через точки A и Pa перпендикулярна окружности с диаметром BC. А тогда легко вывести такое просто замечательное утверждение.
Утверждение Ш-9. Если окружность Ω проходит через точку Шалтая Pa и вершину A, то поляра точки B относительно Ω проходит через C (и наоборот).
В частности, это означает, что если Ω пересекает стороны AB и AC в точках X и Y соответственно, то BY и CX пересекаются на Ω.
Попробуйте, кстати, обратить это утверждение. Получится интересное описание точки Шалтая.
Точка Болтая
Пересечение окружностей и определение
Определение. Через вершины A и B треугольника проведем окружность, касающуюся стороны AC (естественно, в точке A), а через вершины A и C проведем окружность, касающуюся стороны AB. Их точка пересечения Qa, отличная от A называется A-точкой Болтая треугольника ABC.
Опять же будем считать, что треугольник ABC остроугольный, что (как видно из дальнейших свойств) приводит к тому, что точка Qa лежит внутри треугольника.
Из касания сторон и окружностей выводим равенство углов
кроме того,
Это приводит к следующим простым свойствам точки Болтая.
Утверждение Б-1. Точка Болтая Qa является центром поворотной гомотетии, переводящей отрезок AB в отрезок CA.
Утверждение Б-2. Прямая AQa является биссектрисой угла BQaC.
Утверждение Б-3. Точка Болтая Qa, вершины B и C и точка пересечения касательных в вершинах B и C к описанной окружности треугольника лежат на одной окружности.
Это утверждение следует из того, что углы между касательными и стороной BC равны по α, а
Утверждение Б-4. Точка Болтая Qa лежит на симедиане из вершины A треугольника ABC.
Это можно установить двумя способами. Первый, это просто заметить, что биссектриса AQa проходит через середину дуги BC окружности, описанной около треугольника BQaC. А середина по совместительству является точкой пересечения касательных в вершинах B и C к описанной окружности треугольника.
Второй способ это установить крайне важную, но очевидную по определению, связь между точками Шалтая и Болтая.
Утверждение Ш-10 и Б-5. В треугольнике ABC A-точки Шалтая и Болтая изогонально сопряжены.
Связь с центром описанной окружности
Ну первое взаимодействие опять же очевидно, исходя из того, что ∠BQaC=2α.
Утверждение Б-6. Точка Болтая Qa, центр описанной окружности O и вершины B и C лежат на одной окружности.
Если точку пересечения касательных в точках B и С к описанной окружности треугольника ABC обозначить через X, то углы OBX и OCX прямые. Следовательно, верно следующее свойство.
Утверждение Б-6. Точка Болтая Qa является проекцией центра описанной окружности на симедиану из вершины A.
И мгновенные следствия.
Утверждение Б-7. Точка Болтая Qa, середины сторон AB и AC, вершина A и центр описанной окружности O лежат на одной окружности.
Утверждение Б-8. Три точки Болтая Qa, Qb и Qc, центр описанной окружности треугольника и точка Лемуана (точка пересечения симедиан) лежат на одной окружности.