Сегодня я предлагаю Вам продолжить изучение самых известных математических парадоксов. Если вы не читали первую часть этой статьи, то обязательно переходите. ССЫЛКА. А теперь давайте перейдем к рассмотрению второго типа парадоксов - антиномия. Это вид парадоксов, который не просто противоречит здравому смыслу, он противоречит сам себе. В общем виде самой важной разновидностью антиномий является парадокс Рассела. Который звучит так:
Назовем множество расселовским если оно состоит из всех обычных множеств. Вопрос заключается лишь в том является ли такое множество обычным, то есть содержит ли оно само себя в качестве подмножества. Есть две опции:
С одной стороны, если оно «обычное», то должно включать себя в качестве элемента, так как по определению состоит из всех «обычных» множеств. Но тогда оно не может быть «обычным», так как «обычные» множества — это те, которые себя не включают.
Остаётся предположить, что это множество «необычное». Однако оно не может включать себя в качестве элемента, так как по определению должно состоять только из «обычных» множеств. Но если оно не включает себя в качестве элемента, то это «обычное» множество.
Самой известной вариацией парадокса Рассела является парадокс брадобрея:
Пусть в некой деревне живёт брадобрей, который бреет всех жителей деревни, которые не бреются сами, и только их.
Бреет ли брадобрей сам себя?
Однако он довольно просто разрешается. Дело в том, что такого брадобрея просто не существует. Этот парадокс был задан как вопрос знатокам в телевизионной игре Что?Где?Когда? и тогда они не смогли его взять, после чего знатокам пришлось сложить свои титулы "бессмертных" членов клуба.
Уже сложнее дело обстоит с парадоксом Греллинга - Нельсона:
Будем называть прилагательное рефлексивным, если это прилагательное обладает свойством, определяемым этим прилагательным. Например, прилагательные «русское», «многосложное» — обладают свойствами, которые они определяют (прилагательное «русское» является русским, а прилагательное «многосложное» является многосложным), поэтому они являются рефлексивными, а прилагательные «немецкое», «односложное» — являются нерефлексивными.
Будет ли прилагательное «нерефлексивное» рефлексивным или нет?
Решение данного парадокса уже сложнее, чем в случае с парадоксом брадобрея, потому что нельзя так просто сказать, что такого прилагательного не существует. Парадокс возникает из-за того, что определение термина «нерефлексивный» некорректно само по себе. Определение этого термина зависит от значения прилагательного, к которому оно применяется. А так как слово «нерефлексивный» само является прилагательным в определении, возникает замкнутый круг.
Это показывает нам, что парадоксы являются неотъемлемой частью нашей жизнь и присутствуют во всех ее сферах.