Каждый человек ежедневно становится участником множества случайных событий. Вы ждете лифт и зависите от того, на каком этаже он находится или же приходите на остановку, а Ваш автобус только что уехал - опять не повезло и так далее. Однако навскидку бывает довольно сложно оценить какова истинная вероятность событий, в которых человек ежедневно принимает участие. Сегодня я предлагаю Вам рассмотреть классическую ошибку в оценке вероятности.
Парадокс дней рождений
Представьте самый обычный школьный класс, состоящий из 23 человек. Как Вы думаете какова вероятность того, что у каких-либо двух человек из этого класса день рождения будет в один и тот же день? Многие дадут оценку в районе 5-10 % - это и есть классическое заблуждение. На самом деле вероятность этого превышает 50%. Но почему так получается? Для начала нужно разобраться, что такое вероятность. Вероятность по определению - это количество благоприятных исходов, деленное на общее число исходов. К примеру Ваша вероятность родиться 1 мая равна 1/365 то есть нам подходит одно событие, а всего событий - 365 (для простоты будем считать год невисокосным) .
Теперь посчитаем чему же все-таки равна вероятность совпадения дней рождений в классе из 23 человек. Для начала нам нужно узнать чему равна вероятность того, что у них не совпадают дни рождения. Пронумеруем всех учеников от 1 до 23. У первого ученика день рождения в какой-то день, тогда вероятность того, что у второго не совпадает с ним = 364/365, то есть нам подходит 364 из 365 для дня рождения второго. Далее вероятность того, что у третьего не совпадает день рождения с первыми двумя = 363/365, а что у четвертого не совпадает с первыми тремя равна 362/365 и так далее до 23. Вероятность того, что у 23 не совпадает с первыми 22 равна 343/365. Теперь чтобы узнать вероятность того, что у всех учеников дни рождения в разные дни, мы хотим выполнения всех вышеперечисленных условий. Для этого нам нужно перемножить все числа от 364/365 до 343/365, а это примерно равно 0,493. То есть вероятность того, что в этом классе у всех учеников дни рождения приходятся на разные дни равна примерно 49,3 %, а чтобы узнать вероятность того, что хотя бы у кого-то дни рождения совпадают, нужно из 100 % вычесть 49,3 % поскольку это 2 события, которые в сумме дают полную вероятность, так как хотя бы одно из них точно произойдет. Следовательно, вероятность совпадения дней рождений в классе из 23 человек равна 50,7 %. Вероятность же совпадения дней рождений в классе из 30 человек уже больше 70%, а в группе из 50 человек она уже составляет более 97%.
Но почему так происходит?
Все дело в том, что вероятность в зависимости человек в группе можно приблизить функцией (1-е^(n^2/2.36))*100%, то есть вероятность приближается к 100 % гораздо быстрее, чем скорость роста экспоненты. Именно поэтому человек, сталкиваясь с этой задачей впервые не может в полной мере оценить скорость роста функции и дать хорошую оценку вероятности