Всем привет!
Сегодня разбираем задачу первого дня финального тура олимпиады Эйлера (всероссийской олимпиады по математике для 8-ых классов), прошедшей на прошлой неделе. Условия обеих геометрических задач можно найти тут. А следить за публикациями можно на телеграм-канале Олимпиадная геометрия.
Условие задачи было такое.
И кажется, что это более или менее классическая задача на перекладывание отрезков. Прям очень хочется отметить на отрезке AC такую точку X, что KC=CX. И на самом деле я так и сделал, когда решал задачу. Это не приведет нас к самому простому решению, но зато подскажет как задачу надо решать... Давайте разбираться.
Итак, отмечаем на AC точку X такую, что CX=CK. Теперь нам надо проверять равенство AL=AX. Далее нам надо привязать точку X к оставшейся картинке. Ведь основные события в условии разворачиваются вокруг точки B, а точка X с ней связана очень слабо. Разумная связь прослеживается только через вершину C — есть условие на углы с вершиной C. Это наводит на мысль отразить точку B относительно прямой CK и получить точку D такую, что треугольники CXD, CKD и CKB равны.
Далее для решения надо немного пофантазировать. Было бы здорово, если треугольники ALD и AXD оказались попросту симметричны относительно AD. С одной стороны, это выглядит правдоподобно на картинке, а, с другой, решает задачу. Если это так, что оказывается, что треугольник DKL равносторонний и, поскольку K — центр описанной окружности треугольника BDL, угол LBD должен быть равен 30°. В этот момент можно усомниться в высказанной гипотезе, но ведь у нас в условии есть очень странное соотношение на углы треугольника. Оказывается, что оно равносильно тому, что ∠LBD=30°. Действительно,
Круто! Кажется, мы раскусили задачу. Воспользовавшись условием, заключаем, что ∠LBD=30°, а следовательно, ∠LKD=60°. Таким образом, треугольник LKD оказался равносторонним и LD=DK.
К сожалению, для равенства треугольников ADL и ADK этого не достаточно... Но все-таки кажется, что решение уже очень близко.
Можно дополнительно сделать наблюдение
Здесь мы еще раз при переходи от первой строки ко второй воспользовались соотношением на углы треугольника. Следовательно, углы ALD и AXD у треугольников равны. Оказывается этого уже достаточно для равенства треугольников. Дело в том, что из полученных соотношений следует, что углы при вершине A треугольников либо совпадают (и тогда треугольники равны) либо дополняют друг друга до 180°, что в нашей геометрии невозможно. Итак, треугольники, а вместе с ними и отрезки AL и AX равны.
Решение получилось длинным и с непонятным подвыподвертом в конце. Однако, анализ этого решения позволяет придумать более прямолинейное и понятное решение. Записывать я его не буду, скажу только, что оно предполагает построение точки X на AC такой, что AX=AL.
Кроме того, вы можете посмотреть решение на официальном сайте олимпиады, оно предполагает чуть иное дополнительное построение.