Всем привет!
Сегодня разбираем задачи первого дня Кавказской математической олимпиады этого года, прошедшей совсем недавно. Все геометрические задачи можно посмотреть тут. А следить за публикациями можно также на телеграм-канале Олимпиадная геометрия.
Задача у сеньоров и юниоров была по сути одна и та же, но сформулирована в разных направлениях. Давайте посмотрим.
Сначала разберемся с задачей юниоров. Предположим, что красные отрезки равны. Обозначим точку пересечения A₁A₂ с B₁B₂ через X. Тогда XA₁=XB₁ и XA₂=XB₂, откуда заключаем равенство треугольников XB₁A₂ и XA₁B₂. Следовательно и углы при вершине X в этих треугольниках равны, что возможно только если они прямые. В итоге выводим, что треугольники отличаются поворотом на 90 градусов с центром в точке X, а значит и гипотенузы их перпендикулярны. Это и требовалось установить.
В задаче сеньоров легко понять, что B₁A₁ и B₂A₂ обязательно перпендикулярны, поскольку они параллельны биссектрисам смежных углов A₁XB₂ и A₁XB₁. Но тогда из условия заключаем, что A₁ является ортоцентром треугольника B₁B₂A₂, то есть A₁A₂ и B₁B₂ перпендикулярны. Теперь уже равенство треугольников XB₁A₂ и XA₁B₂ очевидно по двум катетам...