Всем привет! Сегодня разбираем вторую из геометрических задач старшего варианта Кавказской математической олимпиады этого года. Мне эта задача, с одной стороны, показалась очень симпатичной, а с другой, немного смутило, что решается она одним, уже ставшим классическим, приемом. Неужели этот как-то связано с тем, что в задачном комитете был автор вот этой статьи? Шутка, конечно. Уверен, что это никак не связанные вещи, просто составителям, так же как и мне задача показалась симпатичной и изящной.
Все геометрические задачи этой олимпиады можно посмотреть тут. Следить за публикациями удобно на канале Олимпиадная геометрия.
Вспомним условие.
Сразу несколько читателей отметило, что задача решается с помощью леммы о воробьях. Я и сам ее так решал. Действительно, на нее намекает очень многое: середина дуги, равные отрезки на сторонах, точка на биссектрисе...
Применим сначала первую лемму о воробьях из статьи и заметим, что описанная окружность треугольника AMK проходит через такую точку X стороне AC, что CX=BM=MA (если вы не любите пернатых, то попросту оказывается, что K — центр поворота, переводящего отрезок BM в отрезок CX). Далее осталось применить вторую лемму о воробьях и заключить, что X, P, M, A лежат на одной окружности, поскольку окружность, описанная около треугольника PCA касается прямой BA — это такой предельный вариант леммы. Впрочем, если вы все еще не любите пернатых, то попросту точка P является центром поворота, переводящего отрезок CX в отрезок MA.
Отмечу, что официальное решение несколько отличается от этого...