Пусть x[1]=1,
x[n+1]=1/(x[1]^2+x[2]^2+...+x[n]^2).
Найдите предел последовательности x[n].
Задачу нашёл на форуме AoPS. При решении буду использовать решение задачи со Всесоюзной олимпиады по математике (год не помню).
Введём последовательность
S[n]= x[1]^2+x[2]^2+...+x[n]^2.
Нашу рекурренту можем переписать как
x[n+1]=1/S[n].
Теперь заметим, что S[n+1]-S[n]= x[n+1]^2=1/S[n]^2, поэтому
S[n+1]=S[n]+1/S[n]^2.
Эта последовательность как раз и была на Всесоюзной олимпиаде. Если мы докажем, что S[n] стремится к бесконечности, то предел последовательности x[n] будет равен нулю.
Возведём в куб последнее равенство. Получим
S[n+1]^3=S[n]^2+3+3/S[n]^2+1/S[n]^6.
Напишем это равенство для n=1,2,...,k-1
S[2]^3=S[1]^2+3+3/S[1]^2+1/S[1]^6;
S[3]^3=S[2]^2+3+3/S[2]^2+1/S[2]^6;
S[4]^3=S[3]^2+3+3/S[3]^2+1/S[3]^6;
...
S[k-1]^3=S[k-2]^2+3+3/S[k-2]^2+1/S[k-2]^6;
S[k]^3=S[k-1]^2+3+3/S[k-1]^2+1/S[k-1]^6
и сложим. Получится
S[k]^3=S[1]^3+3(k-1)+3(1/S[1]^2+1/S[2]^2+...+1/S[k-1]^2)+(1/S[1]^6+1/S[2]^6+...+1/S[k-1]^6).
Из последнего равенства следует, что
S[n]>(3n-2)^(1/3), т.е.
S[n] стремится к бесконечности.