Лестница абстракций -- это символ, показывающий уровни коммуникации. Помните, как Толстой начинает "Анну Каренину"? В первых же предложениях романа мы спускаемся по этой лестнице от глубокого наблюдения до любопытных подробностей:
Считается, что авторам не следует надолго задерживаться на средних уровнях -- там скучно и непонятно, -- но чаще бывать на верхних и нижних уровнях.
Метафора лестницы пригодится и в математике: решая задачи, полезно смотреть, что делается выше или ниже по лестнице.
Как это делается
Задача со средней ступеньки
В первой коробке 20 синих шариков и 20 желтых; а во второй — 30 синих шариков и 30 желтых. Корнею предлагают такую игру:
Можно выбрать любую коробку, а потом вынуть из нее наугад два шарика. Если они разных цветов, Корней выигрывает.
Какую коробку ему лучше выбирать?
Сделаем шаг вверх, обобщим задачу:
Задача ступенькой выше
В первой коробке M синих шариков и M желтых; а во второй — N синих шариков и N желтых, N>M. Корнею предлагают такую игру: Можно выбрать любую коробку, а потом вынуть из нее наугад два шарика. Если они разных цветов, Корней выигрывает. Какую коробку ему лучше выбирать?
Проще не стало, но зато мы теперь можем спуститься, наоборот, ниже. Возьмем M=1, N=2, и получим задачку, которая решается на пальцах. И правда, если в коробке 1 синий шарик и 1 желтый, то с вероятностью 1 два вынутых шарика будут разных цветов. Похоже, что Корнею лучше выбирать коробку, где шариков поменьше.
Это, конечно, не строгое обоснование, но разумная гипотеза. И отличный прием проверки! Если в ответе к средней задачке получилось, что лучше брать коробку 30:30, то надо заподозрить, что решение неверное.
Спасибо Нине Ягодной за идею
Еще полезные приемы проверки, которые пригодятся на экзамене:
Что делать, когда ошибка есть, но непонятно где
Знак умножения – не повод для умножения
Три способа упростить жизнь на экзамене