Во взводе служат три сержанта и несколько солдат. Сержанты по очереди дежурят по взводу. Командир издал такой приказ:
1. За каждое дежурство должен быть дан хотя бы один наряд вне очереди.
2. Никакой солдат не должен иметь более двух нарядов и получать более одного наряда за одно дежурство.
3. Списки получивших наряды ни за какие два дежурства не должны совпадать.
4. Сержант, первым нарушивший одно из изложенных выше правил, наказывается гауптвахтой.
Сможет ли хотя бы один из сержантов, не сговариваясь с другими, давать наряды так, чтобы не попасть на гауптвахту?
Это задача 10.6 на Всероссийской олимпиаде школьников 1996 года. Автор задачи - Е.Куликов.
Покажем, что сержант, который дежурит третьим, сможет так сделать.
Разобьём три дежурства по тройкам. Чтобы не попасть на гауптвахту, третий сержант будет в последний день каждой тройки давать наряды тем солдатам, которые получили за предыдущие два дня ровно по одному наряду (из пункта 3 приказа следует, что такие солдаты найдутся). При такой стратегии по окончании любой тройки дежурств у каждого солдата будет либо два наряда, либо ни одного, причём количество солдат без нарядов будет убывать. Значит, или когда-то окажется, что все солдаты имеют по два наряда, и на гауптвахту отправится первый сержант; или какой-то из первых двух сержантов раньше нарушит приказ.