Неравенство и теорема косинусов

Пусть a, b, c - стороны треугольника. Докажите неравенство
2 < (a+b)/c+(b+c)/a+(c+a)/b-(a^3+b^3+c^3)/(abc) <= 3.

Задача была предложена на личной олимпиаде Австро-Польского соревнования в 2001 году.

Есть несколько способов доказать это неравенство. Я же хочу показать решение, использующее теорему косинусов. Приведём выражение из средней части цепочки неравенств к общему знаменателю.

(a+b)/c+(b+c)/a+(c+a)/b-(a^3+b^3+c^3)/(abc)=
=(a(b^2+c^2-a^2)+b(c^2+a^2-b^2)+c(a^2+b^2-c^2))/abc=
=(b^2+c^2-a^2)/bc+(c^2+a^2-b^2)/ac+(a^2+b^2-c^2)/ab=
=2cos(A)+2cos(B)+2cos(C).

Таким образом, нам надо доказать, что для углов треугольника выполнено неравенство
1<cos(A)+cos(B)+cos(C)<=3/2.

Вспомним теорему югославского математика Караматы.
Пусть f(x) - выпуклая вверх функция на отрезке [a;b];
Наборы x[1]>=x[2]>=...>=x[k] и y[1]>=y[2]>=...>y[k] таковы, что все иксы и игреки лежат на отрезке [a;b].

Пусть верна ещё и цепочка (не)равенств:
x[1]>=y[1];
x[1]+x[2]>=y[1]+y[2];
...
x[1]+x[2]+...+x[k-1]>y[1]+y[2]+...+y[k-1];
x[1]+x[2]+...+x[k-1]+x[k]=y[1]+y[2]+...+y[k-1]+y[k].
(Про такое условие говорят, что набор иксов мажорирует набор игреков.)

Тогда
f(x[1])+f(x[2])+...+f(x[k])<=f(y[1])+f(y[2])+...f(y[k]).

Применим эту теорему для правого неравенства.

Если треугольник остроугольный, то сразу применяем теорему для наборов (pi/3;pi/3;pi/3), (A,B,C).

Получаем, что
cos(A)+cos(B)+cos(C)<=3cos(pi/3)=3/2

Теперь докажем это неравенство для тупоугольных треугольников. Заметим, что cos(C)=cos(pi-A-B)=-cos(A+B), и нам надо доказать, что
1+cos(A+B)<cos(A)+cos(B)
Заметим, что набор (A+B,0) мажорирует набор (A,B).

Левое же неравенство автоматически следует из тождества
cos(A)+cos(B)+cos(C)=1+sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2).