Всем привет! Сегодня предлагаю вам самое короткое из известных мне решений задачи с американского декабрьского отбора на международную олимпиаду. Геометрия на том отборе была под номером 2. Все задачи отборов этого сезона можно посмотреть тут. Следить за публикациями удобно на канале Олимпиадная геометрия. Напомню условие.
На самом деле задача не очень зависит от картинки, но я в решении буду пользоваться расположением точек, приведенным выше. Мне понадобится следующее простое наблюдение.
Полезное утверждение. Пусть точки Y и T располагаются внутри угла AXB. Тогда прямая YT проходит через вершину X в том и только в том случае, если
Через dist(P, a) обозначено расстояние от точки P до прямой a.
Я очень люблю такого сорта утверждения, поскольку с помощью них задачи на параллельность, принадлежность одной прямой и даже перпендикулярность частенько переводятся в разряд тривиальных. Доказывается это утверждение так. Дело в том, что
а отношение синусов в правой части зависит монотонно от значения угла в числителе. Тут надо отметить, что сумма углов в числителе и знаменателе фиксирована и меньше развернутого.
Вернемся к нашей задаче. Очевидно, что треугольники YAC и YBD подобны, поэтому
Установим аналогичное равенство для точки T. Для этого отметим, что
В формуле выше мы обозначили диаметр окружности Г₁ через d₁ и воспользовались теоремой синусов, выразив синус угла как отношение длины хорды, на которую он опирается, к диаметру окружности. Введя аналогичное обозначение для диаметра окружности Г₂, заключаем, что
Осталось заметить, что окружности гомотетичны с центром в точке T, поэтому
Решение закончено.
На самом деле кажется, что это решение скрывает какую-то геометрическую суть задачи. С ней будем разбираться в следующих постах...