Всем привет!
Сегодня разбираем одну из задач польской олимпиады этого года. На мой личный вкус это очень красивая задача. По крайней мере, если бы я такую придумал я бы с гордостью предложил ее на олимпиаду. Все задачи второго раунда польской олимпиады можно посмотреть тут. А следить за публикациями удобно на телеграм-канале Олимпиадная геометрия. Напомню условие задачи.
Моя идея в решении такова. Где мы видели, чтобы середина стороны была вершиной параллелограмма? Правильно! В теореме Вариньона. Давайте достроим картинку до соответствующей. Отразим точку B относительно точки D — получим точку K, и отразим точку C относительно точки E — получим точку L. Тогда параллелограмм DMEF есть как раз параллелограмм Вариньона четырехугольника BCLK и, в частности, точка F является серединой KL.
Из дальнейших вычислений будет видно, что точки K и L либо обе лежат на сторонах треугольника, либо обе лежат на продолжениях и решение, в действительности, от этого не зависит. Я буду считать, что они лежат на сторонах. Мы хотим доказать, что точка F лежит на биссектрисе угла A, но в новых реалиях это равносильно тому, что AK=AL. Проверим это, обозначим традиционно стороны треугольника через a, b и c, а медиану — через m:
Задача решена.