Всерос-1994. Модули квадратных трёхчленов

Даны три квадратных трёхчлена:
P(x)=x^2+ax+b;
Q(x)=x^2+cx+d;
R(x)=x^2+ex+f.
Докажите, что уравнение
|P(x)|+|Q(x)|=|R(x)|
имеет не более восьми корней.

Это задача 10.1 на Всероссийской олимпиаде школьников 1994 года. Автор задачи - А. Голованов.

Каждый корень уравнения является корнем уравнения, получающегося после раскрытия модулей.
Таких уравнений восемь:
P+Q=R; -P-Q=-R;

P+Q=-R; -P-Q=R;

P-Q=R; -P+Q=-R;

P-Q=-R; -P+Q=R.

Каждое из этих уравнений квадратное. Значит, каждое из них имеет не более двух корней. Кажется, что доказали лишь то, что корней исходного уравнения не более 8*2=16.
Но давайте заметим, что написанные в одной строчке уравнения равносильны (одно получается из другого умножением на -1).

Значит, корней не больше, чем 4*2=8, что нам и требовалось доказать.

Предлагаю читателям найти примеры многочленов P(x), Q(x), R(x), когда у уравнения |P(x)|+|Q(x)|=|R(x)| есть восемь корней.