Пусть a, b, c - неотрицательные числа, a+b+c>=3.
Докажите, что a^4+b^3+c^2>= a^3+b^2+c.
Задача была предложена на личной письменной олимпиаде 18-го Киевского математического фестиваля 9 мая 2019 года. Автор задачи - Олександр Руденко, который, будучи школьников, сам участвовал в этом фестивале, проводящимся киевским лицеем "Лидер".
Решение 1 (только неравенство Коши).
a^4+b^3+c^2=(a^4+a^4+a^4+1)/3+(b^3+b^3+1)/2+(c^2+1)/1-1/3-1/2-1>=
>=4a^3/3+3b^2/2+2c-11/6=(a^3+b^2+c)+(a^3+1+1)/3+(b^2+1)/2+c-3>=
>=(a^3+b^2+c)+(a+b+c-3)>=a^3+b^2+c.
Решение 2 (неравенство Коши-Буняковского).
Из известного следствия неравенства Коши-Буняковского:
a^4+b^3+c^2=a^6/a^2+b^4/b+c^2/1>=(a^3+b^2+c)^2/(a^2+b+1).
Таким образом, надо доказать, что
a^3+b^2+c>=a^2+b+1.
Рассмотрим разность:
a^3+b^2+c-(a^2+b+1)>=a^3+b^2+(3-a-b)-(a^2+b+1)>=
>=(a^3-a^2-a+1)+(b^2-2b+1)=(a-1)^2*(a+1)+(b-1)^2>=0.
Читателям предлагается обобщить неравенство.