Длина взрослого червяка 1 метр. Если червяк взрослый, его можно разрезать на две части в любом отношении длин. При этом получаются два новых червяка, которые сразу начинают расти со скоростью 1 метр в час каждый. Когда длина червяка достигает метра, он становится взрослым и прекращает расти. Можно ли из одного взрослого червяка получить 10 взрослых червяков быстрее чем за час?
Задача была предложена в базовом варианте весеннего тура для 8-9 классов Турнира города 2010/11 годов. Автор задачи - М.А. Хачатурян.
Будем делать так.
В момент времени 1/2^10 часа отрежем от червяка 1/2^10 его часть.
Маленькую часть оставим в покое, через час от начала действия он вырастет как раз до метра.
В момент времени 1/2^9 часа большой червяк дорастёт до метра, и мы отрежем от него кусочек в 1/2^9 метра. Маленький кусочек опять же оставим расти.
Через 1/2^8 часа большой червяк опять дорастёт до метра, и мы отрежем от него кусочек в 1/2^8 метра.
И так далее.
Последнее разрезание мы сделаем в момент 1/2 часа, когда поделим метрового червяка пополам и оставим наконец червяков в покое.
Таким образом, через час у нас будет 10 новых взрослых метровых червяков. И один "старый" взрослый червяк, про которого по условию задачи непонятно, будет ли он расти, если его длина будет становиться меньше метра после отрезаний.
В сумме мы отрезали от него 1/2^10+1/2^9+...+1/2=1-1/2^10 метра.
И от первого отрезания до момента получения 10 новых взрослых червяков прошло 1-1/2^10 часа.