Всем привет!
Сегодня продолжаю недавно начатую традицию "лекционных" воскресных публикаций. Не знаю насколько меня хватит, но постараюсь продержаться подольше.
На днях от Федора Петрова узнал прекрасное доказательство существования изогонального сопряжения, основанное на свойствах осевых симметрий. Сегодня расскажу о нем подробно, заодно поговорю о других доказательствах.
Напоминаю, что следить за публикациями удобно на телеграм-канале Олимпиадная геометрия.
Итак, что же такое изогональное сопряжение? А это вот что. Предположим, что нам дан треугольник ABC и точка P (для простоты будем считать, что она лежит внутри треугольника ABC, хотя это почти совсем не важно). Отразим лучи AP, BP и CP относительно биссектрис углов A, B и C соответственно. Полученные таким образом три прямые пересекаются в одной точке, которая собственно и называется изогонально сопряженной к точке P относительно треугольника ABC.
Изогональное сопряжение является очень мощным инструментом в решении геометрических задач, но сегодня мы будем обсуждать лишь факт существования изогонально сопряженной точки, то есть того, что три прямых пересекаются в одной точке.
Доказательство с помощью симметрий
Основой доказательства является следующее простое наблюдение: композиция трех симметрий является осевой симметрией тогда и только тогда, когда соответствующие им прямые либо пересекаются в одной точке, либо параллельны (принадлежат одному пучку, если по-умному). Мы хотим доказать, что прямые, симметричные AP, BP и CP относительно соответствующих биссектрис пересекаются в одной точке, то есть, что композиция соответствующих симметрий — симметрия.
Следуя книжке Фридриха Бахмана "Построение геометрии на основании понятия симметрии" (которую можно скачать на сайте МЦНМО тут), будем преобразование симметрии относительно прямой обозначать также, как и саму прямую.
Равенство углов при вершине B, скажем на картинке выше, означает, что
поскольку и выражение справа, и выражение слева есть поворот с центром в точке B на удвоенный синий угол. Следовательно, прямые симметричные AP, BP и CP относительно биссектрис соответствующих углов выражаются формулами
и нам надо проверить, что их композиция (произведение) есть прямая. Композиция, очевидно, равна
Произведение трех прямых посередине есть прямая, значит и все произведение есть прямая. Нужное утверждение доказано.
Если поизучать книгу Бахмана, то можно найти много интересных утверждений, доказываемых таким образом. Например, теорема об изогоналях тоже может быть доказана подобными рассуждениями, правда, все же чуть более техническими.
Для полноты картины давайте я теперь изложу ряд вполне себе классических доказательств существования изогонально сопряженной точки.
Геометрическое доказательство
Самое простое из геометрических доказательств, известных мне, основано на изящном построении изогонали относительно угла. Предположим, что точка P лежит внутри угла BAC. Отразим точку P относительно сторон AB и AC, образы обозначим через P(C) и P(B) соответственно. Тогда серединный перпендикуляр к отрезку P(B)P(C) является изогональю луча PA относительно угла BAC (то есть прямой симметричной PA относительно биссектрисы). Устанавливается этот факт простым счетом углов при вершине A.
Возвращаясь к треугольнику, получаем, что точка изогонально сопряженная к точке P есть ни что иное, как центр описанной окружности треугольника P(A)P(B)P(C).
Тригонометрическое доказательство
Самое короткое доказательство получается если воспользоваться тригонометрической теоремой Чевы. Сформулируем ее опять же для простоты для лучей идущих внутрь треугольника.
Тригонометрическая теорема Чевы. Пусть три луча, выходящие из вершин A, B и C треугольника делят углы треугольника на части α₁ и α₂, β₁ и β₂, γ₁ и γ₂. Тогда лучи пересекаются в одной в том и только в том случае, если верно тождество
Утверждение об изогональном сопряжении следует из теоремы очевидным образом.
Комплексные числа
Еще одно неожиданное и, на мой взгляд, очень изящное доказательство — доказательство в комплексных числах. Точки и соответствующие им числа будем обозначать одними и теми же буквами. Предположим, что точка Q такова, что BP и BQ симметричны относительно биссектрисы угла B, а CP и CQ симметричны относительно биссектрисы угла C. Тогда выражения
вещественны и требуется доказать, что выражение
вещественно. Но это так, поскольку верно тождество
Проверить его проще всего заметив, что в левой части стоит линейная функция от P, обращающаяся в единицу при P=A и при P=B.