Всем привет!
На телеграм-канале Олимпиадная геометрия большинство проголосовало за статью про теорему Птолемея. Материала у меня по этой теме для рассказа накопилось много. Сегодня попробую изложить известные мне доказательства, а в следующей публикации рассказать о следствиях и возможных обобщения. Хотя как минимум одно обобщение появится уже сегодня.
Итак, приступим.
Формулировки.
Теорема Птолемея, общая формулировка. Для любых четырех точек A, B, C и D на плоскости выполнено неравенство
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда либо точки A, B, C и D лежат на одной окружности в указанном порядке, либо лежат на одной прямой в указанном порядке (или отличающемся от него циклической перестановкой).
В этой формулировке, конечно, очень неудобна оговорка про прямую, поэтому удобно утверждение разбивать на два отдельных.
Теорема Птолемея (традиционная формулировка). Выпуклый четырехугольник ABCD является вписанным тогда и только тогда, когда
Неравенство Птолемея. Для любых четырех точек A, B, C и D на плоскости выполнено неравенство
Далее большую часть доказательств я буду проводить для выпуклого четырехугольника, однако почти все они с легкостью переделываются на общий случай. Давайте попробуем разобраться в приведенных выше утверждениях. Начнем со школьного доказательства теоремы в традиционной формулировке, обычно предлагаемого в школе.
Доказательство первое — школьное
Для начала рассмотрим вписанный четырехугольник ABCD. На диагонали AC отметим такую точку X, что ∠ BXC=∠ BAD.
Нетрудно видеть, что образуется две пары подобных (поворотно гомотетичных с центром в точке B) треугольника
Следовательно, верны соотношения
Складывая их и домножая на BD, получаем требуемое равенство.
Может показаться непонятным, как развернуть это рассуждение в обратную сторону, а, главное, можно ли таким способом доказать неравенство Птолемея. Оказывается можно!
Давайте теперь уже для произвольных четырех точек A, B, C и D на плоскости рассмотрим поворотную гомотетию с центром в точке B, переводящую точку D в точку C. Пусть при этом точка A переходит в точку X.
Тогда мы зарабатываем те же самые подобия и соотношения, что и полученные выше с единственным отличием — вместо равенства
верно неравенство треугольника
обращающееся в равенство только в случае, когда точка X лежит на отрезке AC. Простое выяснение того факта, когда же точка X попадает на отрезок AC, приводит к случаям, описанным в условии основной теоремы.
Важное наблюдение, которое я хотел бы отметить состоит в том, что неравенство Птолемея по сути равносильно неравенству треугольника.
Доказательство второе — опять подобие
Есть немного другое доказательство теоремы Птолемея, в целом являющееся легкой модификацией предыдущего. Оно предполагает, что правильную точку отметили не на диагонали четырехугольника, а на стороне. Проведем рассуждение для вписанного четырехугольника ABCD, а общий случай останется читателям в качестве упражнения. Отметим на продолжении CD за точкой D такую точку X, что треугольники ADX и ABC подобны (поворотно гомотетичны с центром в точке A). Нетрудно видеть, что тогда и треугольники ABD и ACX тоже будут подобны. Следовательно имеем равенства
Вычитая из одного равенства другое и домножая на AB, получаем требуемое.
Доказательство третье — теорема Бретшнайдера
Третье рассуждение, которое я хотел бы привести доказывает чуть более общее утверждение, чем теорема Птолемея, а именно теорему, которую в русскоязычной литературе называют формулой Бретшнайдера или теоремой косинусов для четырехугольника. (В англоязычной литературе, кажется, формулой Бретшнайдера принято называть формулу для площади четырехугольника, обобщающую формулу Герона.)
Теорема Бретшнайдера. Для четырехугольника ABCD выполнено соотношение
Понятно как из этого следует теорема Птолемея. Выражение в правой части всегда не превосходит
причем равенство достигается только когда сумма углов A и C четырехугольника равна 180°, то есть для вписанного или вырожденного с правильным порядком вершин.
Как же доказать формулу Бретшнайдера? А намек в самой формуле, требуется построить треугольник с правильными сторонами и углами, для которого указанное соотношение окажется попросту теоремой косинусов... Проведем рассуждение в случае выпуклого четырехугольника ABCD, а обобщение рассуждения на общий случай оставим читателю.
На сторонах AB и AD построим во внешнюю сторону треугольники APD и AQB, подобные треугольникам CBA и CDA соответственно (обратите внимание на порядок вершин!). Для длин сторон и диагоналей четырехугольника ABCD введем обозначения AB=a, BC=b, CD=c, DA=d, AC=m, BD=n. Тогда в силу подобий верны соотношения
где в каждом из равенств в правой части первым сомножителем выписан коэффициент подобия треугольников, а вторым соответствующая сторона.
Чудесным образом оказалось, что PD=QB, а если присмотреться к равенствам углов, то можно обнаружить параллельность прямых PD и QB. Следовательно, PQBD — параллелограмм и PQ=n. Кроме того, легко найти угол PAQ, он как раз равен сумме углов A и C четырехугольника (или дополняет эту сумму до полного угла). Записывая теорему косинусов для треугольника APQ, получаем равенство
Домножая на m², выводим требуемое.
Доказательство четвертое — стороны педального треугольника и прямая Симсона
Следующее доказательство, которое я хотел бы обсудить связано с утверждением о прямой Симсона.
Прямая Симсона. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Точка D лежит на описанной окружности треугольника ABC тогда и только тогда, когда проекции точки D на прямые, содержащие стороны треугольника лежат на одной прямой.
Это утверждение доказывается простым счетом углов и, конечно, верно и для необязательно выпуклых четырехугольников. Однако, дабы не вдаваться в разбор большого количества непонятных случаев, остановимся на приведенной выше формулировке.
Теперь можно переформулировать критерий вписанности четырехугольника ABCD из утверждения о прямой Симсона так: четырехугольник вписан тогда и только тогда, когда педальный треугольник точки D относительно треугольника ABC вырожден.
NB. Педальным для точки D относительно треугольника ABC называется треугольник с вершинами в основаниях перпендикуляров, опущенных из точки D на прямые AB, BC и CA.
Тут, конечно, нужно чуть больше аккуратности, педальный треугольник для точки D должен быть вырожденным "правильным" образом. Однако, внимательное изучение утверждения о прямой Симсона показывает, что проекция точки D, лежащей на дуге AC, на прямую AC всегда лежит между проекциями точки D на прямые AB и BC.
Осталось для произвольной точки на плоскости вычислить длины сторон педального треугольника. Двукратное применение теоремы синусов показывает, что упомянутые стороны вычисляются по формулам
где R — радиус описанной окружности треугольника ABC.
Вырожденность треугольника равносильна тому, что последнее слагаемое равно сумме двух первых, что и дает теорему Птолемея, а невырожденность соответственно приводит к неравенству.
Доказательство пятое — инверсия
Следующее доказательство основано на преобразовании инверсии. Если вы почему-то не знаете, что это такое, то я рекомендую или пропустить эту часть или посмотреть вот эти четыре видео от дистанционки Сириуса: раз, два, три и четыре.
Сделаем инверсию с центром в точке A и радиусом 1, будем при этом считать, что точки B, C и D перешли в точки B', C' и D'. Выпуклый четырехугольник ABCD является вписанным тогда и только тогда, когда точки B', C' и D' лежат на одной прямой, не проходящей через точку A, и при этом точка C' лежит между B' и D'. По свойствам инверсии верны соотношения
Вырожденность треугольника B'C'D' равносильна тому, что
а это в силу равенств выше эквивалентно тождеству Птолемея. Понятно, что тоже самое рассуждение доказывает и неравенство Птолемея, которое опять оказывается по сути неравенством треугольника.
Доказательство шестое — комплексные числа
Комплексные числа вообще являются одним из самых мощных инструментов решения геометрических задач и часто позволяют доказывать утверждения, которые на первый взгляд к комплексным числам отношения имеют мало. Для понимания доказательства на низком уровне вам потребуются только следующие знания о комплексных числах:
- комплексные числа изображаются точками на плоскости и складываются также как и соответствующие векторы, идущие из начала координат;
- у комплексных чисел есть модуль, который равен длине соответствующего вектора;
- как следствие для любых двух комплексных чисел z₁ и z₂ выполнено неравенство |z₁ +z₂| ≤ |z₁|+|z₂|, которое естественно называется неравенство треугольника;
- комплексные числа можно перемножать и верны все те же законы, что и для вещественных чисел, в частности, |z₁z₂| = |z₁||z₂|.
Эти свойства позволяют, обозначив комплексные числа соответствующие точкам A, B, C и D через a, b, c и d соответственно, переписать неравенство Птолемея следующим образом
Но это неравенство очевидно является неравенством треугольника для чисел
поскольку
Увидеть теорему Птолемея в этом доказательстве в полном объеме можно изучив комплексные числа чуть глубже и научившись связывать их аргументы с направленными углами. Этого я в рамках этой публикации делать не буду.
Отмечу еще, что полезно на выписанные соотношения посмотреть как на двойные отношения четырех точек на плоскости.
Доказательство седьмое — тригонометрия
У теоремы Птолемея в любом ее варианте есть масса тригонометрических доказательств. По сути достаточно лишь записать несколько теорем косинусов для треугольников, на которые разбивается четырехугольник каждой из диагоналей и все сведется к некоторому тригонометрическому тождеству или неравенству.
Для вписанного четырехугольника рассуждение можно провести, например так. Пусть α, β, γ, и δ центральные углы, соответствующие дугам, стягиваемым сторонами четырехугольника. Тогда сами стороны могут быть вычислены как синусы углов, в предположении, что радиус окружности равен 1. Диагонали же тоже выражаются из теоремы синусов. В результате тождество Птолемея сводится к равенству
которое доказывается преобразование каждого произведения синусов в разность косинусов.
