Задача (для числа 2010) была предложена на национальной олимпиаде Финляндии в 2010 году.
Как гласит основная теорема арифметики,
любое натуральное число n>1 можно единственным образом (с точностью до перестановки сомножителей) представить в виде произведения степеней простых чисел:
n=p[1]^a[1]*p[2]^a[2]*...*p[k]^a[k],
где p[1], ..., p[k] - простые числа, входящие в разложение числа n.
Зная разложение числа на множители, несложно посчитать количество делителей числа:
tau(n)=(a[1]+1)(a[2]+1)...(a[k]+1).
Разложим на множители 13!:
13!=2^10*3^5*5^2*7^1*11^1*13^1.
Число его делителей
tau(13!)=(10+1)(5+1)(2+1)(1+1)(1+1)(1+1)=1584.
Разложим на множители 14!:
14!=2^11*3^5*5^2*7^2*11^1*13^1.
Число его делителей
tau(14!)=(11+1)(5+1)(2+1)(2+1)(1+1)(1+1)=2592.
Осталось сказать, что у факториалов бОльших чисел ещё больше делителей, и потому n=14.