Всем привет!
Многие проголосовали за разбор геометрических задач с Romanian Masters of Mathematics этого года. Сегодня разберу первую задачу, единственную классическую геометрию в варианте. Задача с очень богатой картинкой, можно сделать очень много наблюдений, и поэтому она не такая и трудная. Решение задачи естественным образом разбивается на две части, поэтому и публикую его в двух частях. Вторая будет завтра!
Посмотреть на геометрические задачи RMofM-2020 можно тут. Следить за публикациями и влиять на порядок разбора задач можно на телеграм-канале Олимпиадная геометрия.
Напомню условие.
Когда вы начинаете решать эту задачу, сразу получается сделать много-много наблюдений, но, как мне кажется, самое психологически трудное, это включить в картинку точку D — основание высоты. Я в таких случаях всегда делаю следующее. Я убираю с картинки непонятный объект и исследую задачу без него. А потом отдельно изучаю конструкцию, завязанную в задаче на непонятный объект. Так мы и поступим. Итак, в первой части решения мы стираем высоту CD и пытаемся просто понять что-то про точку пересечения окружностей из условия! Будем последовательно делать очевидные наблюдения.
Наблюдение первое.
Первое наблюдение касается центра вписанной окружности прямоугольного треугольника (надо же как-то использовать такое ограничительное условие). Четырехугольник IB₁CA₁ — квадрат. Следовательно,
Наблюдение второе.
Счет углов показывает, что прямые FB₁ и EA₁ параллельны прямой AB. Действительно, для прямой FB₁, из симметрии
откуда и следует требуемая параллельность. На картинке это даже проще понять — отмечены равные синие углы.
Наблюдение третье.
Из параллельностей заключаем, что
и аналогично, что
Наблюдение четвертое — ключевое.
Если поменять при точке I углы темно-зеленый и фиолетовый углы местами (то есть отразить точку C₁ относительно биссектрисы угла C и получить точку X), то образуются две равнобокие трапеции FB₁IX и EA₁IX, и, следовательно, точка X лежит на обеих окружностях.
Вывод
Точку пересечения окружностей X можно описать иначе — это точка симметричная точке C₁ относительно биссектрисы угла C.
Бонусное наблюдение первое
Точка X лежит на вписанной окружности треугольника.
Бонусное наблюдение второе
Четырехугольник FCEI — параллелограмм и FA₁EB₁ тоже.
Завтра осознаем, какое ко всему этому отношение имеет основание высоты из вершины C.