В некоторой школе более 90% учеников знают английский и немецкий языки, и более 90% учеников знают английский и французский языки. Докажите, что среди учеников, знающих немецкий и французский языки, более 90% знают английский язык.
Задача была предложена на осеннем туре XXXII Турнира городов, прошедшем 10 октября 2010 года, в базовом варианте для 8-9 классов.
Перепишем условие задачи алгебраически.
Для этого введём обозначения. Пусть
a - количество школьников, которые знают английский и немецкий языки, но не знают французского;
b - количество школьников, которые знают английский и французский языки, но не знают немецкого;
c - количество школьников, которые знают немецкий и французский языки, но не знают английского;
d - количество школьников, которые знают все три языка.
По условию более 90% учеников знают английский и немецкий языки. Это означает, что a+d - более 9/10 от всех школьников и, тем более, больше 9/10 от a+b+c+d.
Опять же, более 90% учеников знают английский и французский языки. Это означает, что b+d - более 9/10 от всех школьников и, тем более, больше 9/10 от a+b+c+d.
А нам надо доказать, что d>9/10 (c+d).
Итак,
a+d>9/10 (a+b+c+d);
b+d>9/10 (a+b+c+d).
Значит,
10a+10d>9a+9b+9c+9d;
10b+10d>9a+9b+9c+9d.
Сложим: 10a+10b+20d>18а+18b+18c+18d,
откуда 2d>18c+8a+8b.
Сократив на 2, получим
d>9c+4a+4b>9c.
Но нам и надо было доказать, что d>9c.