В некоторой школе более 90% учеников знают английский и немецкий языки, и более 90% учеников знают английский и французский языки. Докажите, что среди учеников, знающих немецкий и французский языки, более 90% знают английский язык.
Задача была предложена на осеннем туре XXXII Турнира городов, прошедшем 10 октября 2010 года, в базовом варианте для 8-9 классов.
Перепишем условие задачи алгебраически.
Для этого введём обозначения. Пусть
a - количество школьников, которые знают английский и немецкий языки, но не знают французского;
b - количество школьников, которые знают английский и французский языки, но не знают немецкого;
c - количество школьников, которые знают немецкий и французский языки, но не знают английского;
d - количество школьников, которые знают все три языка.
По условию более 90% учеников знают английский и немецкий языки. Это означает, что a+d - более 9/10 от всех школьников и, тем более, больше 9/10 от a+b+c+d.
Опять же, более 90% учеников знают английский и фра