Говорят, математика скучная наука, откуда тогда, столько математических шуток?
Если черный кот дважды пересек вам дорогу, он отменил неприятности или удвоил?
Если кот векторный, то отменил, если скалярный, то удвоил.
Если вам не смешно, значит с векторами вы не так часто встречались в жизни. Читаем дальше, чтобы понять, где смеяться. Кстати, кто знает, как правильно ставить ударение: вЕкторы или векторА? Заранее спасибо за помощь.
С произношением разобрались, сейчас попробуем понять, что же называют вектором. Если мы возьмем самый популярный учебник по геометрии Атанасяна, то там найдем определение вектора, как направленного отрезка. И это почти всех устраивает. Хотя в учебнике Александрова говорится, что направленный отрезок это лишь изображение вектора, а вектор это величина, которая характеризуется не только численным значением, но и направлением. То есть, если мы говорим про 5 кг гречки, то это скалярная величина, масса. А вот если мы говорим про вес этих пяти килограмм гречки, то тут еще нужно учесть, с каким ускорением мы будем нести её из магазина. И вернемся к анекдоту. Для векторного кота важно в каком направлении он движется, туда и обратно разные величины. А для скалярного, не важно направление, важно лишь наличие. Слушайте, а что будет, если коты разные? Векторные, но разные. Тогда второй отменит лишь часть неприятностей или отменит больше, чем было?
Если мы используем понятие вектора только для решения геометрических задач, то не столь важно каким именно определением мы пользуемся. Но в среде математиков слова: "вектор это направленный отрезок" лучше лишний раз не произносить.
Мы с вами поговорим о векторном способе решения задач. Для этого нам нужно несколько понятий и определений: коллинеарность, сонаправленность, равенство векторов. Не будем писать много текста по этому поводу, думаю на картинке всё достаточно понятно.
Любые объекты попадая в математику приобретают способность складываться, вычитаться, умножаться, делиться и прочее. Не всегда математикам хватает фантазии, чтобы придумать все операции над объектами, но они стараются. Итак, сложение векторов. Два популярных способа сложить два вектора представлены на картинке. Думаю суть понятна.
Вычитание векторов тоже есть, но лучше использовать сложение с вектором противоположным. Да, это лень. А с умножением векторов все постарались и придумали несколько вариантов. Во-первых, мы можем умножить вектор на число(вектор растянется или сожмется), во-вторых, мы можем умножать векторы скалярно и в-третьих, можем выполнить векторное умножение. Пишите в комментариях, если хотите статью на тему применения произведения векторов к решению задач.
А пока перейдем к использованию векторного метода. Уточним для начала, что мы не будем использовать координаты векторов. Иначе попадем в другой метод.
Итак, перед нами задача и первое, что нужно сделать это понять, что решать её нужно именно векторным методом. Как нам это понять? Есть несколько сценариев. Например, кто-то сжалится над нами и сразу скажет, каким методом решать задачу. Вариант второй, наши долгие и тщетные попытки найти решение ввергнут нас в пучину отчаяния и там в самой темной и глубокой расщелине перед нами всплывет воспоминание о векторах, как последний луч надежды. Конечно же, возможен и третий вариант. Имеющийся у нас опыт подскажет, что решать подобную задачу стандартными приемами не очень удачная идея (читайте выше про пучины отчаяния) и мы сразу станем применять различные методы.
Определившись с методом, можем приступать к решению. Куда будем прикладывать вектора? Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним, как доказать, что некий четырехугольник является параллелограммом? Так же, как мы идентифицируем все другие предметы в жизни. По признакам. Если нам удастся доказать, что отрезки AD и BC параллельны и равны, то задача будет решена. Параллельность одна из вещей, которая удобно доказывается с помощью векторов. Поехали!
Разложим векторы AD и BC в сумму других векторов и попытаемся получить равные вектора в разложении. Все выкладки не хочу писать, если кому-то нужно, напишите в комментариях. Посмотрим итог.
Это всё, конечно, хорошо. Но есть вопрос по-интересней, при каких условиях параллелограмм ABCD обратится в прямую? Ваши предположения?