Часть 3
Большинство предложений по нахождению полного приращения многофакторной функции оказались неубедительны и не вывели рассуждения за рамки хорошо известного [1]. Учёные неоднократно отмечали, что осуществить подобное преобразование невозможно [2]. Каждое из предложений воспринималось как «очередное бесперспективное упражнение» и утверждалось, что произведение разложить в сумму функций от сомножителей вида аb = f(а) + f(b) однозначно нельзя, поскольку задача имеет целый континуум решений [3]. Обоснованное разделение произведения на однородные слагаемые и отвечающее критерию достоверности, – может быть только одно. Именно это обстоятельство оказалось камнем преткновения в вопросе обоснования второго кризиса основ математики.
Вопрос о необходимости обоснования дифференциального исчисления поставлен не точно. Речь идёт не об обосновании дифференциального исчисления, а о нахождении полного значения приращения многофакторной функции: а = f (x, y, z, … n) (5), без какого-либо отбрасывания или пренебрежения её членами, и для последующего точного определения на этой основе производной функции. Предлагаемый метод связан с отказом от символического исчисления. Решение должно опираться на достоверные положения элементарной математики, а аналитическое выражение производной многофакторной функции, полученной на основе полного приращения, – точно отражать результат. Предел этой точности устанавливается произвольно, исходя из требований практики или возможности измерительного аппарата. Точно-однозначное определение производной функции двух или нескольких переменных предполагает использование не только всего значения полного приращения (∆а), но и отказа от каких-либо ограничений по величине самих приращений.
При анализе однофакторных функций действия по исключению остаточных членов представляются излишними, поскольку имеет место свободное суммирование однородных величин, находящихся в различных числовых областях, сумма которых образует единое или полное число.
[1] Варианты по распределению остаточного члена известны под рубрикой: «экономический факторный анализ» .(См.: Баканов М.И., Шеремет А.Д. Теория экономического анализа: Учебник. – 4-е изд. – М.: 2001. С.117 – 143; Блюмин С. Л. и др. Экономический факторный анализ. Липецк: ЛЭГИ. 2004. – 148 с.).
[2] См., например: Писарев И.Ю. Важное и актуально начинание // Вопросы экономики. 1956. № 6. С. 152; Перегрудов В.Н. Разложение абсолютных приростов по факторам // Ученые записки по статистике. 1959. Т. V. C. 70; Казинец Л.С. Теория индексов. М.: Статистика, 1963. С. 158; Экономическая Энциклопедия. Политическая экономия. Т. 1. / Гл. ред. А.М. Румянцев. М., Советская Энциклопедия, 1972. С. 554. Впервые решение по распределению остаточного члена было представлено в статье: Орлов А.В. Два подхода к разложению прироста по факторам // Вестник статистики. 1987. № 3. С. 61 – 66.
[3] См.: Раяцкас Р.Л., Плакунов М.К. Количественный анализ в экономике. М.: Наука, 1987. С. 135 – 136.
Проблема обоснования дифференциального исчисления возникает при рассмотрении полных приращений функции нескольких независимых переменных. Рассмотрим следующий пример.
Дана произвольная двухфакторная функция: z = f(x,y), её полное приращение имеет вид: ∆z = ∆xY0 + ∆yX0 + ∆x∆y (6). Для точного определения производной функции f /р(x,y) необходимо произведение ∆x∆y разложить на однородные слагаемые с последующим их присоединением к факторам: ∆xY0 и ∆yX0. В результате получим формулу полного приращения в виде однородных слагаемых: ∆z = ∆xY0 + f (∆x) + ∆yX0 + f (∆y) (7), где ∆x∆y = f (∆x) + f (∆y), которые при сложении присоединяются к определяющим их факторам, образуя единое целое. Формула (7) означает преобразование полного приращения с учётом однородных частей остаточного члена, что позволит точно определить значение производной функции как по ∆x, так и по ∆y. Речь идёт об алгебраическом распределении остаточного члена между вызвавшими его факторами. В этом случае переход от высшей математики к элементарной будет иметь аналитический характер и связан с отказом от символического исчисления [4].
С точки зрения структурализма ∆z не может быть пустой формой безразличной к значению своего содержания. Аналогично и ∆xY0, ∆yX0, ∆x∆y являются не самостоятельными величинами, а следуют из ∆z и взаимосвязаны между собой. Это означает, что теоретически возможно распределить остаточный член между другими членами разложения. Математические рассуждения есть априорный синтез, образующий один за другим «сущностные отношения», в нашем случае это отношения между ∆z и его составом: ∆xY0, ∆yX0, ∆x∆y. В поиске ответов на возникающие вопросы, – считает Н. Мулуд, –создаются новые структурные объекты, для которых действуют и прежние законы [5].
Для разложения произведения на сумму однородных слагаемых представим ряд последовательных геометрических и алгебраических преобразований, что позволит сконструировать пригодный для дальнейшего анализа объект. Математическое выражение данной функции представим в общепринятых обозначениях.
Имеется два независимых компонента X и Y, произведение которых равно Z. Их начальные значения обозначим через: X0, Y0, Z0; последующие как: X, Y, Z. Переход от начальных величин к последующим является минимально-дискретным и между ними не существует промежуточных значений, то есть предполагается мгновенное изменение факторов, положение которых известно. Абсолютные приросты обозначим соответственно через: ∆x = X – X0, ∆y = Y– Y0, ∆z = Z – Z0. Общий рост находим по формуле: Z0 + ∆z = (X0 + ∆x)∙(Y0 + ∆y). После умножения и сокращения приходим к уже известной формуле (6): ∆z = ∆xY0 + ∆yX0 + ∆x∆y. С целью упрощения дальнейших выкладок выразим компоненты и факторы в относительных величинах – темпах роста: Ix, Iy, Iz и темпах прироста: ix, iy, iz. Динамику любых исходных чисел можно представить
[4] В теории статистики решение этой проблемы представлено в статье: Орлов А.В. Алгоритм для разложения полного прироста между факторами // Вопросы статистики. 2012. № 7. С. 78 – 85.
[5] См.: Мулуд Н. Современный структурализм: Размышления о методе и философии точных наук. М.: Прогресс. 1973. С. 63.
в относительных приростных величинах (ОПВ), от этого они не теряют ни свою однородность, ни свою значимость, ни своих свойств и качеств. В данном случае имеет место перенесение исследования в иную область измерения – в ОПВ, которые обладают всеми необходимыми свойствами для проведения исследования. Это позволит наглядно представить не только приращение 1-го, но и последующих порядков малости. Переход к использованию ОПВ даёт возможность оперировать с приростами как с полноценными величинами, которые в данном случае выражают статику.
Начальные значения темпов роста Ix0, Iy0, Iz0 равны единицы, а темпов прироста – нулю. Разделив выражение (6) на X0Y0 = Z0 получаем: ∆z/Z0 = ∆x/ X0 + ∆y/Y0 + ∆x∆y/X0Y0, каждая часть которого в темпах прироста равна: iz = ∆z/Z0; ix = ∆x/X0; iy = ∆y/Y0; ixiy = ∆x∆y/X0Y0. В относительных приростных величинах общий или полный прирост будет выражать простая формула: iz= ix+ iy+ ixiy (8), аналогичная выражению (6), где: ixiy – остаточный или дополнительный член, – результат взаимодействия независимых факторов (в теории статистики называется «неразложимым остатком»). Требуется найти единственное решение разложения остаточного члена в виде суммы двух независимых слагаемых, отвечающих критерию достоверности.
Если из зависимости (8) выделить остаточный член в качестве самостоятельной и конкретной величины, то он может быть разделён на две разнородные части с помощью действий элементарной математики и с последующим присоединением этих частей к определяющим их факторам. Речь идёт о представлении «числа-произведения» через сумму слагаемых, равных количеству сомножителей: iz= iполx + iполу (9), где: iполx и iполу – полное значение однородных факторов, которые равны: iполx = ix + iпрx; iполу = iу + iпрy . В свою очередь сумма приведённые факторов iпрx и iпрy равна ixiy [6] .
Для продолжения исследования необходимо распределить остаточный член (ixiy) между факторами ix и iy единственно-обоснованным способом и таким образом получить сумму из двух однородных значений: iz= ix + iпрx + iу + iпрy = iполx + iпол у.
С целью упрощения дальнейших выкладок применим для зависимости (8) удобную для последующих математических действий символику, приняв: iz = c; ix = a; iy = b; ixiy = ab, тогда формула (8) примет упрощённый вид: c = а + b + ab (8а), где a и b – независимые величины, представляющие стороны прямоугольника CC1D1D – остаточного члена (см. рис. 1). Формула (8а) характеризует разрывную функцию и состоит из независимых друг от друга частей: а и b – первые члены прироста, ab – его последующая часть. Решение связано с переходом от первичной (линейной) размерности основных величин к вторичным размерностям, – размеру площади. Различные объекты становятся количественно сравнимыми лишь после того, как они сведены к единой мере измерения.
Данное преобразование позволит двух факторную функцию представить не как трудно-воспринимаемую объёмную поверхность в трех декартовых координатах, а в виде рисунка на плоскости (см. рис. 1), что значительно упростит понимание сути явления. В этом случае приростные величины представлены просто и ясно; требование наглядности выполняется и оно очевидно, поскольку соответствует запечатлённому мгновению перехода динамики в статику.
Подробнее см. статью Орлов А.В. Алгоритм для разложения полного прироста между факторами. Журнал Вопросы статистики. №7, 2012 г., с.78-85.
[6] Подробнее см.: Орлов А.В. К обоснованию степенного метода определения долей остаточного члена // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Наука и образование. 2010. 2-2 (100). С. 165 – 171.
ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ...