ЧАСТЬ 2
Со временем учёные установили, что представленное О. Коши обоснование предела недостаточно и противоречиво. В своем анализе он опирался на понятие действительного числа, а иррациональное число трактовал как предел последовательности рациональных чисел. Для выхода из этого логического тупика необходимо было обосновать свойства действительных чисел как-то иначе, без ссылки на понятие предела, а не таким образом, когда одно значение предела определялось посредством другого [1].
Концепция, представленная О. Коши и уточнённая К. Вейршрассом, – строго аналитической не является. Она означает отказ от принятых в элементарной математике норм и предлагает осуществить переход на другой уровень анализа, где пренебрегают значениями приращений второго и последующих порядков малости. Но, несмотря на существующие сомнения в отсутствии надёжного обоснования математического анализа, он находит всё более широкое применение, хотя в действительности зиждется на эмпирическом и прагматическом базисе. Математический анализ, за счёт привлечения недостоверного основания – предела, достиг своей последней конкретности, а усилия учёных представить ему строгое обоснование, – оказались исчерпаны и не вышли на аналитический уровень.
Постепенно к концепции предела накапливались вопросы принципиального характера; отметим некоторые из них. Предел это:
- символ, а не знак математического действия, который не имеет физического значения, а потому может существовать лишь как вспомогательное средство;
- не математическая операция, а искусственный метод по устранению остаточных членов (приращений более высокого порядка малости);
- отказ от элементарных требований к математической строгости;
- чисто порядковое (метафизическое) понятие, а не количественная зависимость;
- эмпирический и прагматический подход к математическому анализу[2].
Использование символического исчисления позволило отказаться от неопределённых б.м.в. и обосновать именно само понятие предела, а не метод по точному определению производной функции f /р(х). Существует принципиальное различие между обоснованием предела, как символического исчисления, и методом точного нахождения производной функции на основе правил элементарной математики. Первое основано на субъективно принятом правиле – метафизическом подходе для получения приближённо-правильного результата; второе – строго математически обоснованно и обеспечивает получение точного результата. Применение предела постоянно воспроизводит сомнение в его научной обоснованности, а дифференциальное исчисление предлагается принять так, как оно есть, – в него следует просто верить, аналогично тому, как при умножении минус на минус следует верить, что
[1] См.: Беляев Е.А., Перминов В.Я. Философские и методологические проблемы математики. – М.: Изд.-во Моск. Ун-та, 1981. – С. 71.
[2] Принятое условия, что ∆х→0 не позволяет отнести ∆х ни к первому, ни ко второму порядку малости, что подтверждает неопределённый характер символического исчисления. Фактически это означает, что избавиться от неопределённых б.м.в. не удалось.
получается плюс. Но любое принятое на веру положение, которое аналитически не доказано, нуждается в строгом обосновании.
С помощью предела происходит разъяснение особенности дифференциального исчисления, а обоснование реально происходящих процессов, как таковое, – отсутствует. Принцип предела основан на предположении, что вторые и последующие приращения стремятся к нулю, то есть метод не универсален, а значение производной функции заранее ограничено. Использование предела усугубило ситуацию по подтверждению неразрывного единства между элементарной и высшей математикой. Установить с помощью предела между ними прямую и непосредственную связь не удалось. Применение предела – искусственное ограничение точности происходящих процессов, что противоречит главному математическому требованию – принципу строгости.
Концепция предела свидетельствует: разрешение второго кризиса основ математики оказалось весьма условным и носит временный характер. Сложились объективные предпосылки для аналитического обоснования математического анализа и установления непротиворечивого единства между элементарной и высшей математикой. При этом речь не идёт об отказе от ранее принятых норм и правил, но решение проблемы по точному определению производной функции, открывает новые возможности в постижении математических истин.
Привлечение к анализу б.м.в. и символического исчисления выступило альтернативой аналитическому методу по определению полного значения приращения многофакторной функции и её использованию в расчётах.
Нахождение полного приращения многофакторной функции – для точного определения производной функции
Достижения учёных в части обоснования дифференциального исчисления к началу ХХI-го столетия достигли необходимой степени полноты для выхода на следующий уровень его познания . Налицо прогресс математических знаний по аналогии с достижениями в естественных науках о природе. Вклад учёных в разработку проблемы обоснования математики позволяет заключить, что созданы необходимые предпосылки для преодоления второго кризиса методологических основ математики. Определены общие требования к обоснованию математического анализа:
- проблема выражает задачу повышенной сложности, что требует конструирования новой системы понятий и обозначений;
- доказательство должно строиться из свойств самой функции и числовых множеств, которые она связывает;
- переход от элементарной математики к высшей должен иметь алгебраический характер и связан с отказом от символического исчисления.
Выполнение этих требований позволит осуществить естественный переход от элементарной к высшей математике и тем самым подтвердить непосредственную связь между ними. Объединить их в единое целое – значит свести обоснование к изучению системы объектов с простейшими, очевидными свойствами на основе содержательных абстракций. Само же обоснование и доказательство не основывается на элементарных очевидностях, а связано с созданием новых структур, что предполагает построение объекта, как части общей системы на основе конструктивной логики. Такой подход требует использовать систему абстракций через геометрические построения, подтверждаемые алгебраическими выражениями, что позволит раскрыть реальную картину имеющего место явления. Математики длительное время стремились связать основные положения элементарной и высшей математики с некими реальными (геометрическими) сущностями, но этого не произошло. «Невозможность решения проблемы обоснования математики и привело к тому, – считает С.К. Черепанов, – что эта проблема оказалась снятой с повестки дня»[3]. Характерный момент: профессионалы-математики всё реже обращаются к рассмотрению этого вопроса, что позволило оставить его обсуждение на междисциплинарном уровне. Значительная часть работ по истории, философии и логике математики констатируют актуальность и сложность проблемы: для её решения следует изменить базовую концепцию и методологическую парадигму [4].
Для преодоления второго кризиса методологических основ математики требуется представить решение, исключив различного рода «допущения» в виде пренебрежения в приращениях членами высших порядков малости и тем самым отказаться от метафизических действий. Ставится задача, исходя из строгих математических предпосылок, избавиться от субъективно принятого допущения: приравнивать остаточные члены нулю; их следует принять в качестве равноправных частей полного приращения для точного определения производной функции. Вопрос касается сохранения остаточных членов как неотъемлемых частей полного приращения, что потребует внесение изменений в обозначение рассматриваемых функций. Речь идёт о конструировании наглядного объекта и выводе математического выражения в виде формулы (алгоритма) для точного вычисления величины производной функции, полученной от полного её приращения. Предполагается замена одного выражения (произведения) другим – суммой независимых слагаемых, удовлетворяющих определённым требованиям строгости – критерию достоверности, но в то же время, – эквивалентного первому математически. Необходимо от произведения (аb), которое содержит независимые величины, перейти к его сумме в виде слагаемых: f(а) + f(b), – каждое из которых однородно и независимо от другого. Такое решение должно быть обосновано как единственно-возможное состояние, то есть соответствовать определённому критерию достоверности. Предполагается измерить то, что явно измеримым не является. Переход от произведения к сумме независимых слагаемых есть более глубокое понимание сущности явления, – в основе предлагаемых операций лежит сложение частей, которые не раскладываются далее. Точное определение производной функции позволит принять допущение о достаточной точности вычисленного результата, исходя из строго доказанной математической формулы. Речь идёт о методе по решению задачи, считавшейся ранее в принципе неразрешимой, и которая относится к одной из важнейших в математике. Введение новых средств позволит предложить теоретическое решение, которое можно использовать на практике и тем самым расширить границы практической математики.
[3] Черепанов С.К. Основания и парадоксы. Новый подход к решению проблем логического обоснования математики. Красноярск. 1995. С. 4.
[4] Большое внимание обоснованию второго кризиса методологических основ математики уделялось в исследованиях С.А. Яновской. Значительная часть её творческого наследия посвящена истории математического анализа, что позволило не только привлечь внимание к вопросу методологических основ математики, но и подготовить почву для переосмысления этих основ. (См.: Яновская С. А. Методологические проблемы науки. М.: Мысль, 1972. – 280 с.).
ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ...