Какие ассоциации у вас возникают с числом 42?
Ну конечно, это же ответ на «Главный вопрос жизни, вселенной и всего такого». Впервые человечество узнало ответ на этот вопрос 8 марта 1978 года из радиопостановки The Hitchhiker's Guide to the Galaxy. Позднее ее автор, Дуглас Адамс, по мотивам постановки написал трилогию из пяти романов «Автостопом по галактике» (и заодно внес новое содержание в слово «трилогия»).
В этом году 8 марта у нас двойной праздник – мы не только поздравляем милых дам, но еще и отмечаем 42-летний юбилей появления в человеческой культуре «Путеводителя по галактике для путешествующих автостопом».
Между прочим, гораздо позднее, когда научились расшифровывать геномы, выяснилось, что у всех позвоночных, для которых расшифровали геномы, есть одна общая последовательность нуклеотидов:
TTTAATTGAAAGAAGTTAATTGAATGAAAATGATCAACTAAG.
Их здесь ровно 42 штуки, можете пересчитать. Не доказана пока гипотеза (ее называют гипотезой о смысле жизни), что эта последовательность присутствовала в геноме предка всех позвоночных, и сохранилась до наших дней — никаких мутаций, добавлений или удалений не произошло. Эта гипотеза не доказана и не опровергнута.
______________________
Число 42 отметилось еще и в прошлом году — как продвижение в одной из нерешенных задач математики. Это задача о представимости целого числа в виде суммы трех кубов целых чисел. Для каких целых N существует ли решение в целых числах уравнения a3+b3+c3=N?
Например, для N=3 решение существует:
1³ + 1³ + 1³ = 3.
Есть и другое решение:
4³ + 4³ + (−5) ³ = 3.
И оно не последнее:
569,936,821,221,962,380,720³ + (-569,936,821,113,563,493,509)³ + (-472,715,493,453,327,032)³ = 3.
Есть ли другие решения? Как найти их количество для N=3 и для других N?
Известно, что если N дает остаток 4 или 5 при делении на 9, то это уравнение не имеет решений. (Это несложно доказать — под силу смышлёному 8-класснику). Но неизвестно, обязательно ли есть решения, если остаток другой. Кроме того, даже зная, что решения есть, математики не умеют определять их количество.
К этой задаче пытались приступить экспериментально — начав с единицы, для всех натуральных чисел (кроме тех, что дают запрещенные остатки) подобрать разложение в сумму кубов. В первой сотне самым неподатливым оставалось число 42. Для всех остальных чисел первой сотни или нашли разложение в сумму трех кубов, или знали, что его не существует. Для ответа на самый главный вопрос разложение нашли только 6 сентября 2019 года:
42=(–80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³
Следующее по порядку число, для которого такое разложение неизвестно, — это 114. Это нерешенная математическая задача. Так что если вам удастся представить 114 в виде суммы кубов, вы прославитесь, хотя и не сильно.