Фальшивые монеты и оплата взвешиваний

Есть 6 совершенно одинаковых внешне монет, но 2 из них фальшивые. У всех настоящих монет одинаковый вес. Фальшивые монеты легче настоящих и весят поровну. Также есть чашечные весы, но, чтобы совершить на них взвешивание, надо предварительно заплатить одну монету. Если уплаченная монета настоящая, весы покажут правильный результат, а если фальшивая — могут показать что угодно. Можно ли с помощью таких весов найти хотя бы одну настоящую монету (и не потратить её)?

(Чашечными весами пользуются так: что-то кладут на левую чашу и что-то на правую, после чего весы либо показывают, что какая-то из чаш тяжелее, либо показывают, что чаши равны по весу.)

Задача была предложена 22 марта 2015 года на заключительном туре Турнира имени Ломоносова.

Первым взвешиванием положим на чаши весов по две монеты. Одна при этом уйдёт в банк, а ещё одна останется у нас.

В случае неравенства возьмём ту пару, которая весит больше.
В случае равенства возьмём любую пару.
Добавим к паре оставшуюся у нас отложенную монету.

Поймём, что среди этих трёх монет не более одной фальшивой.

Если весы показали неправду, то одну фальшивую мы потратили. Следовательно, у нас не может быть две фальшивых.

Если весы показали правду, то
либо в паре обе настоящие;
либо в паре одна фальшивая (но тогда вторая фальшивая оказалась в другой паре, которую мы не взяли).

Вторым взвешиванием положим на чаши весов по одной монете из той пары, которую мы забрали (заплатим банку монетой, которая и в первом взвешивании не участвовала).
Что может быть?
Если третья монета фальшивая, то обе монеты на весах настоящие. Брать можно любую, но мы в случае неравенства возьмём тяжёлую.
Если третья монета настоящая, то при неравенстве тяжёлая будет настоящая. В случае равенства они обе будут настоящими.