Всем привет!
Продолжаем радоваться выходным и разбирать простые задачи. Сегодня разбираем последнюю задачу 2-го тура 55-го Уральского турнира. Все задачи турнира можно посмотреть тут, а следить за публикациями и влиять на порядок разбора задач можно на телеграм-канале Олимпиадная геометрия. Думаю, в обозримом будущем разбирать дальше задачи 55-го Уртура я буду только по запросу, ибо есть много более интересных задач и материалов для публикаций. Так что пишите, если хотите увидеть разбор какой-то конкретной задачи!
Сегодняшняя задача такая.
Удивительным для меня в этой задаче стало то, что условие про принадлежность точки E стороне CD квадрата не играет никакой роли, разве что упрощает слегка картинку. Это заметил и Константин Кноп в комментарии.
Впрочем картинка очень симпатичная и я ранее именно такого утверждения не видел.
Я придумал два разных решения этой задачи, которые приведу ниже. Кроме того, эта задача стала конкурсной у Euclidea некоторое время назад, однако в комментариях я нашел всего два решения — одно счетное и одно геометрическое, что забавно на испанском языке. Зато множество решений можно найти в паблике Romantics of Geometry на фейсбуке тут и тут. Особенно мне понравилось решение Владимира Натановича Дубровского. Вот картинка из его решения (попробуйте понять в чем оно сотоит)
А вот решение от Константина Кнопа, попробуйте его понять по картинке:
Ну да ладно, перейдем к моим двум решениям. Первое такое (кстати, кажется, оно совпадает с предложенным выше).
Первое решение (повороты).
Когда мы видим такое количество квадратов, очень хочется сделать повороты. И они тут помогают. Треугольники BEA (в исходных обозначениях) и DMA отличаются поворотом на 90 градусов с центром в точке A, а треугольники BEA и BQC отличаются поворотом на 90 градусов относительно точки B.
Поэтому, в частности, равны углы, отмеченные на чертеже черными дужками. Но тогда, очевидно треугольники PQC и DMN равны, причем, как нетрудно видеть их соответственные стороны перпендикулярны.
Второе решение (поворотные гомотетии).
Сделаем поворотную гомотетию с центром в точке A на угол в 45 градусов и коэффициентом сжатия в корень из 2 раз. При этом точка N перейдет в точку E, а точка D перейдет в центр O квадрата ABCD.
Теперь сделаем вторую поворотную гомотетию с центром в точке B на 45 градусов с коэффициентом растяжения в корень из 2 раз. При этом точка точка E перейдет в точку P, а точка O — в точку C.
Композиция двух этих поворотных гомотетий является поворотом на 90 градусов (легко, кстати, понять, что центром является точка O). При этом отрезок ND сначала отправился в отрезок EO, а затем в отрезок PC, откуда и следует, что отрезки ND и PC равны и перпендикулярны.