Всем привет!
Пока продолжается голосование за то, какие задачи разбирать на канале в первую очередь, и пока я готовлюсь к разбору трудных задач прошедших олимпиад, посмотрим еще на пару задач с уральского турнира, а именно доразберем второй тур! Во втором туре оставалось две неразобранных задачи. Одна из них из высшей и первой лиг восьмого класса.
Вот ее условие.
Задача, конечно, сложна постановкой вопроса. Признаюсь честно, не понимаю как жюри оценивало ответы. Например, можно сформулировать необходимое и достаточное условие так: "необходимо и достаточно, чтобы на сторонах треугольника нашлись такие точки X, Y и Z, что треугольник XYZ равносторонний, и центры вписанных окружностей треугольников ABC и XYZ совпадают."
По факту нас просят переформулировать данное в задаче условие, так чтобы оно выглядело попроще, но что такое "попроще" не понятно и очень субъективно. Например, можно сделать так. Свести это утверждение к алгебраическому тождеству (или неравенству) в декартовых координатах. Оно ведь тоже будет необходимым и достаточным условием?
В общем, тут у меня много вопросов к методической комиссии...
Но давайте обратимся-таки к геометрии. Первое наблюдение, которое надо, конечно, сделать состоит в том, что точка I равноудалена как от точек K, L и M, так и от точек касания D, E и F вписанной в треугольник ABC окружности со сторонами. Таким образом мы получаем три равных прямоугольных треугольника!
Возможно две ситуации: все три серых треугольника одинаково ориентированы и отличаются поворотом, или один из них отличается ориентацией от двух других. На картинке треугольник DKI отличается ориентацией от двух других. Выберем два треугольника, отличающихся поворотом. В ситуации, предложенной на картинке, это треугольники IFM и IEL. Тогда получим, что ∠FIE= ∠MIL=120°, но тогда ∠A=60°.
В результате заключаем, что хотя бы один из углов треугольника должен быть равен 60°, причем при одинаковой ориентации всех трех серых треугольничков треугольник ABC автоматически должен быть правильным.
Полученное условие является достаточным. В любом треугольнике с углом 60° при одной из вершин соответствующие точки на сторонах найти можно. Действительно, если угол A треугольника равен 60°, угол C меньше 60°, а угол B больше 60°, то точки K, L и M можно построить следующим образом. Нужно от лучей ID, IE и IF в "правильную" сторону (см. рисунок) отложить угол 30°–∠С/2= ∠B/2–30°. Тогда полученные отрезки IK, IL и IM будут равны друг другу и углы между ними будут по 120°, что обеспечивает требуемое условие.