Всем привет!
В опросе о том, какие задачи разбирать в первую очередь на телеграм-канале Олимпиадная геометрия, с большим отрывом победила задача с Московской математической олимпиады, предлагавшейся в этом году 11-ом классе под номером 5. Это, как ни удивительно, не классическая планиметрия, а стереометрия... Напомню ее условие.
Красота этой задачи, конечно же, в ее контринтуитивности. Кажется, что такого очевидно не может быть, поскольку с одной стороны тетраэдр должен быть в каком-то смысле "большой", а с другой стороны он должен быть "маленький". Однако, при ближайшем рассмотрении оказывается, что противоречий в общем-то нет.
Давайте начнем изучать свойства этого тетраэдра, дабы либо приблизиться к построению примера, либо понять, почему такого тетраэдра не существует.
Первое наблюдение касается того, какие вообще сечения тетраэдра являются параллелограммами. Оказывается, это сечения, параллельные паре скрещивающихся ребер.
Если это не так, и, например, сечение KLMN с вершинами на ребрах AB, BC, CD и DA тетраэдра ABCD не параллельно, скажем ребру AC, то прямые LM и KN неминуемо пересекутся в точке пересечения плоскости KLMN c прямой AC.
Второе наблюдение состоит в том, что стороны параллелограмма автоматически параллельны соответствующим скрещивающимся ребрам. То есть параллелограмм оказывается прямоугольником только если соответствующие скрещивающиеся ребра перпендикулярны.
Ну и простое третье наблюдение состоит в том, что точки K, L, M, N делят ребра AD, AB, CB и CD в одинаковом отношении по теореме Фалеса. И если стороны KN=LM равны aAC с некоторым a<1, то стороны KL=MN равны (1–a)BD.
Теперь если мы хотим у тетраэдра получить два квадратных сечения, то понятно, что они должны быть параллельны двум разным парам скрещивающихся ребер. При этом одна из пар должна быть достаточно большой.
Давайте теперь попробуем осуществить конструкцию. Для того чтобы обеспечить существование квадратного сечения со стороной 100, возьмем тетраэдр с двумя перпендикулярными ребрами длиной 200. Тогда сечение, проходящее через середины четырех оставшихся ребер будет как раз квадратом со стороной 100. Теперь мы хотим получить в каком-то другом сечении "маленький" квадрат. Давайте одно из оставшихся ребер сделаем чуть большим единицы, тогда сечения параллельные ему и его парному ребру, близкие к этому маленькому ребру будут параллелограммами с маленькими сторонами. Для того, чтобы получились прямоугольники надо добиться перпендикулярности соответствующих ребер... ну а там уже и до маленького квадратного сечения недалеко.
Как нам организовать перпендикулярность скрещивающихся ребер? Нужен тетраэдр, который является ортоцентрическим. Проще всего этого добиться, пустив три из ребер по осям прямоугольной декартовой системы координат. Давайте будем считать, что вершина A начало координат. Вершина B имеет координаты (200, 0, 0), вершина C имеет координаты (0, y, 0) и, наконец, вершина D имеет координаты (0, 0, z). При этом y² + z²=200².
Мы убили сразу несколько зверей: есть сечение в виде квадрата со стороной 100, все сечения параллельные паре ребер являются прямоугольниками. Будем считать, что y чуть больше 1.
Далее начинаем проводить сечения, параллельные AC близкие к AC и отодвигать из от AC. В какой-то момент образуется квадратное сечение. Нам бы хотелось подобрать параметр y, так чтобы квадрат получился со стороной 1. Но стороны сечения, параллельного CA выражаются формулами
то есть мы получаем систему уравнений
Которая сводится к одному уравнению на y
Не все решения этого уравнения нам подойдут. Во-первых, y должно быть больше 1, поскольку a<1. Во-вторых, y должно быть меньше 200, чтобы можно было найти z. Из геометрических соображений ясно, что y должно быть близко к 1.
И действительно, функция
обращается в 0 в точке y=1 и уже сильно больше 1 при y=2, значит по теореме о промежуточном значении она принимает значение 1 на интервале (1, 2).
На самом деле уравнение можно решить явно... искомым корнем является число
Допускаю, что у этой задачи есть другие замечательные решения и конструкции. Пишите их в комментариях, мне будет очень интересно!