В первую минуту суток на электронных часах горит 00:00, а в последнюю - 23:59. Сколько времени в течение суток на часах горит хотя бы одна единица и нет ни одной двойки?
Задача была предложена на прошедшем в февраля 2020 года 55 Уральском турнире юных математиков.
Юные математики часто решают эту задачу перебором.
Выделяют часы, где нет единицы и нет двойки (00, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09) и где есть единица и нет двойки (01, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19). А потом смотрят, сколько минут в каждом из этих случаев подходят.
Мы же, как некогда Владимир Ильич, пойдём другим путём.
Вначале посчитаем, сколько раз встречаются числа без двоек.
Первая цифра - 0 или 1 (две возможности),
вторая цифра - без 2 (девять возможностей),
третья цифра - 0, 1, 3, 4, 5 (пять возможностей),
четвёртая цифра - без 2 (девять возможностей).
Всего чисел без двоек - 2*9*5*9=810.
Теперь посчитаем, сколько раз встречаются числа без единиц и без двоек.. Первая цифра - обязательно 0 (одна возможность),
вторая цифра - без 1 и 2 (восемь возможностей),
третья цифра - 0, 3, 4, 5 (четыре возможности),
четвёртая цифра - без 1 и 2 (восемь возможностей).
Всего чисел без двоек - 1*8*4*8=256.
Разность 810-256=544 - это количество минут с единицами, но без двоек.