Всем привет!
Сегодня продолжаем разбирать задачи Московской олимпиады. Все условия можно посмотреть тут. Следить за публикациями можно также на канале Олимпиадная геометрия. Дошла очередь до задачи 9.4, которая также была предложена в 11-ом классе под номером 3 в первый день.
Напомню условие задачи.
Условия, наложенные на треугольник в задаче, фиксируют картинку, приведенную выше. Впрочем, решение можно провести и в любой другой ситуации.
Я придумал два решения. Одно решение — прямолинейное, такое, которое я бы придумал будучи школьником на олимпиаде, основанное на счете углов. Второе решение — идейное, которое я придумал, пытаясь понять, как такое можно придумать.
Первое решение (счет углов)
Обозначим середину BC через M, а середину AC через N. Тогда очевидно, что MB=MC=MH=MP. Кроме того, ясно, что все углы при точке M выражаются через углы треугольника ABC. Тогда и угол PBC тоже выражается через углы треугольника ABC и достаточно доказать, что он равен углу OBC.
План понятен, давайте его реализовывать. Для этого введем традиционные обозначения для углов треугольника A, B и C — α, β и γ. Для начала найдем угол HMB
Далее, из симметрии
В результате заключаем, что
и точки P, B и O лежат на одной прямой.
Решение второе (идейное)
Второе решение проникает в суть вещей. Дело в том, что точка H, основание высоты, лежит на описанной окружности серединного треугольника для треугольника ABC. Следовательно, если ее отразить относительно всех трех средних линий треугольника ABC, то полученные точки попадут на одну прямую, проходящую через ортоцентр серединного треугольника (прямая Штейнера). Но ортоцентр серединного треугольника это точка O, а точка симметричная H относительно средней линии, параллельной стороне AC попадает в точности в точку B.
Прямая Штейнера. Для точки P на описанной окружности треугольника ABC можно рассмотреть точки симметричные точке P относительно сторон треугольника. Три такие точки лежат на одной прямой, проходящей через ортоцентр треугольника ABC. Утверждение эквивалентно тому, что прямая Симсона точки P делит отрезок, соединяющий ортоцентр треугольника с точкой P пополам.
Кстати, с помощью прямой Штейнера можно понять и утверждение из второй части решения вот этой задачи.