Всем привет!
Сегодня начинаем разбирать задачи отборов на международную олимпиаду (IMO) и международную европейскую олимпиаду для девочек (EGMO), проходивших в США в декабре-январе. Условия я публиковал ранее тут. К сожалению, олимпиада для девочек на данный момент отменена, будем надеяться, что она лишь отложилась до более подходящего момента. Тем не менее, это не помешает нам сегодня разобрать самую простую задачу отборов, но вместе с тем довольно изящную.
Условие было таким.
В этой задаче просто считаются углы. Заметим, что
а значит четырехугольник BFQD является вписанным. Аналогично доказывается, что четырехугольник CEQD является вписанным. А хорошо известно, что описанные окружности треугольников BDF, AFE и CED пересекаются в одной точке. Значит точка Q лежит на описанной окружности треугольника AFE, что и требовалось.
Отмечу, что, конечно, в этой задаче очень много других случаев расположения точек. Победить это можно или честным разбором или счетом в направленных углах.
Кроме того, можно было доказать, что Q совпадает с точкой пересечения BE и CF, и уже из этого вывести утверждение задачи.
Еще одно решение, конечно, можно получить проделав инверсию с центром в точке A. Но это я оставлю в качестве упражнения вдумчивым читателям.
Не болейте коронавирусом, дабы не срывать математические олимпиады! Всех благ!