Это история про то, как из занимательной математики извлечь полезные приложения к школьной жизни.
Есть такая игра-угадайка из золотого фонда математического фольклора. Корней загадывает любой день в январе, а Пантелей его должен угадать. Он задает Корнею вопросы, на которые можно ответить "да" или "нет". Сколько вопросов достаточно, чтобы угадать наверняка?
Что если перебирать подряд:
"Это первое число?"
"Это второе число?"
"Это третье число?"
................................................
"Это тридцатое число?"
Если повезет, то угадаешь с первого вопроса. А если не повезет, то с тридцатого. (После тридцати "нет" станет ясно, что правильный ответ -- 31.)
Но есть способ побыстрее: с каждым вопросом Пантелею нужно уполовинивать зону поиска.
Например, сначала спросить: "Ты загадал число больше 16?" Допустим, Корней ответил "нет". Значит, надо искать ответ среди чисел от 1 до 16. (А если "да", то среди чисел от 17 до 31.) И продолжать задавать вопросы дальше:
Так можно наверняка угадать число за 5 вопросов.
Этот же принцип хорошо работает, когда мы понимаем, что в решении где-то есть ошибка, но не видим, где именно.
Для проверки корней уравнения есть мощный способ (многие ученики им пренебрегают, а зря!): подставь корень в уравнение — должно получиться верное равенство.
Как это бывает, в силе кроется слабость. Раз подстановкой поймать можно практически любую ошибку, ты не узнаешь, что именно ты поймал: проверка показывает, что ошибка есть, но не показывает, где она. Бывает, даже очень пристальное разглядывание выкладок не показывает, где именно прячется ошибка. Что делать? Поможет бинарный поиск, когда шаг за шагом уполовинивают область, где прячется ошибка.
Посмотрим на примере, как это делается. Решая уравнение, будем нумеровать строки, чтобы отмечать, где ищем ошибку.
Получили квадратное уравнение относительно cos x. Преобразуем его так, чтобы у слагаемого с наивысшей степенью был положительный
коэффициент:
А теперь разложим левую часть на множители:
Первый множитель не дает корней, а второй дает:
Проверка. Проверим эту серию корней подстановкой в условие — в уравнение (0):
Не сошлось; проверка показала, что (7) не является решением уравнения (0). Уравнение решено неверно. Можно после этого поискать ошибку методом пристального вглядывания. Если он не помогает, нужно подставить (7) в (4) — посередине между (7) и (0):
Раз уравнение (4) решено верно, а (0) -- нет, ошибка где-то между этими строками. Если она все равно не видна, нужно подставить корень между (0) и (4) -- в строку (2) и еще раз уполовинить область поиска. За несколько шагов удается локализовать ошибку с точностью до строки. И тут уж найти ее гораздо проще.
В трудоемкости бинарного поиска есть свой плюс — после нескольких его применений ты станешь внимательнее. Раз-другой поищешь-помучаешься, а потом станешь внимательнее.
Еще о том, как помочь себе на экзамене: