Всем привет!
Пока весь мир борется с вирусом, мы боремся с геометрическими задачами Московской математической олимпиады этого года, условия которых можно посмотреть тут. Ранее я уже разбирал задачи 8.5 и 11.I.5. Если верить опросу читателей на телеграм-канале Олимпиадная геометрия, следующая по востребованности задача это задача 10.4, разбором которой мы сегодня и займемся.
Напомню ее условие.
В целом мне задача понравилась, немного смутил наворот в условии, который, на мой взгляд, сделал задачу не сложнее, а уродливее.
Я вот о чем. В задаче требуется доказать, что прямая OE касается описанной окружности треугольника AXY. Однако, простой счет углов при вершине A показывает, что прямая OA является касательной к окружности, описанной около треугольника AXY. (Можно выразить эту мысль иначе: OA и высота из вершины A являются изогоналями относительно угла BAC, прямая XY параллельна высоте и значит антипараллельна OA относительно угла BAC, что и означает касание.) Далее простые соображения симметрии показывают, что вторая касательная из точки O касается окружности, описанной около AXY, в точке на описанной окружности треугольника ABC. Таким образом надо попросту доказывать, что три окружности, описанные около треугольников ABC, ADM и AXY, имеют общую точку, отличную от точки A. Мне такая формулировка нравится значительно больше. С ней и будем разбираться.
Решение первое
Давайте определим точку E, как вторую точку пересечения окружности, описанной около треугольника AXY с описанной окружностью треугольника ABC. Проверим, что E лежит на описанной окружности треугольника ADM. Дальнейшее решение можно было бы проводить в направленных углах, дабы не разбирать случае, однако, я для простоты буду рассуждать на приведенной ниже картинке.
Заметим, что угол AEY равен углу AXY и дополняет угол B треугольника ABC до прямого. Тем временем, угол AEC дополняет угол B до развернутого, следовательно, ∠YEC=90° и четырехугольник MYEC вписан в окружность с диаметром YC. (На самом деле, открою тайну, точка E является точкой Микеля сторон треугольника ABC и прямой XY.)
Остался несложный счет углов: ∠EMC= ∠EYC= ∠EAD, откуда и следует требуемая вписанность. Поясним второе равенство. Угол EYC опирается на дугу AE в окружности AXY, а угол EAD является углом между касательной и хордой, опирающийся на ту же дугу.
Решение второе
Определим точку E, как точку пересечения окружностей, описанных около треугольников ABC и ADM и попробуем понять, что же это за точка.
Точка E на дуге AC задается так, что ∠EAD = ∠EMD, при этом угол EAD составлен из двух — из угла OAC, дополняющего угол B до прямого, и угла, опирающегося на дугу EC в описанной окружности треугольника ABC. Угол же EMD является углом между секущими, одна из дуг между которыми как раз совпадает с EC, а значит вторая должна быть таковой, что углы на нее опирающиеся дополняют угол B до 90 градусов. А значит прямая ME пересекает дугу BC в той же точке Z, что и высота из вершины A!
Но тогда равны углы BEZ, BAZ и AXY. И значит точки BXEM лежат на одной окружности. И опять точка E оказывается точкой Микеля сторон треугольника ABC и серединного перпендикуляра к BC. Следовательно, она лежит на описанной окружности треугольника AXY.