Всем привет!
Сегодня разбираем довыводную задачу с питерской городской олимпиады этого года. Условия всех геометрических задачи питерской олимпиады старших классов можно посмотреть тут, а прочитать решение уже разобранного геометрического неравенства 11.5 — здесь. Напомню, что следить за публикациями, а также немного влиять на контент можно путем голосования на телеграм-канале Олимпиадная геометрия.
Напомню условие разбираемой задачи.
Да, отличная задача, кстати. Давайте понимать.
Мои рассуждения при решении геометрии всегда начинаются с осознания того, а нет ли на картинке лишних точек? И в этой задаче они есть. Ну скажите, зачем нам в этой задаче точка F? Ведь просто надо доказывать, что сумма углов DB₁E и DBE равна 180°. Так что давайте точку F сотрем.
Далее заметим, что биссектриса угла B проходит через центр окружности описанной около треугольника AIC, ведь центр вневписанной окружности является для I диаметрально противоположной точкой. Следовательно, биссектриса BI делит другой диаметр ED пополам (обозначим центр описанной окружности треугольника AIC, середину ED и по совместительству середину дуги AC описанной окружности треугольника ABC через M).
Итак, нам надо проверить, что B₁ это такая точка на медиане BM треугольника DBE, что ∠DBE+ ∠DB₁E=180°. Про то, как определяется такая единственная точка на медиане треугольника все известно. Эта точка в англоязычном фольклоре называется humpty point, а как она называется в русскоязычном я говорить не буду, чтобы никого не обидеть.
Так вот эта точка есть ни что иное, как проекция ортоцентра треугольника на медиану. Или точка пересечения двух окружностей, в нашем случае, двух окружностей проходящих через вершину B и касающихся прямой ED в точках E и D. Если вы почему-то этого не знаете или не понимаете, вы можете проголосовать за соответствующую статью на канале Олимпиадная геометрия.
Решение, тем не менее, можно закончить без всех этих наблюдений. Как я уже сказал выше, точка M является по лемме о трезубце серединой дуги AC описанной около треугольника ABC окружности. Следовательно, углы MCA и CBM равны, а значит MC — касательная к описанной окружности треугольника BB₁C. Поэтому
Раскручивая в обратную сторону, заключаем, что ME является касательной к описанной окружности треугольника MB₁E, а MD является касательной к описанной окружности треугольника MB₁D. В итоге получаем, что равны углы
откуда следует требуемое заключение.