Продолжаем разбирать задачи 55-го уральского турнира юных математиков. Все геометрические задачи турнира можно посмотреть тут. А за публикациями можно следить на телеграм-канале Олимпиадная геометрия.
Сегодня начинаем разбираем самую простую задачу первого тура — задачу из второй лиги младшей группы.
Секрет задачи простой. Есть вы в прямоугольном треугольнике ADE отметили такую точку B на гипотенузе EA, что EB=BD, то эта точка однозначно является серединой гипотенузы, поскольку серединный перпендикуляр к ED и прямая EA пересекаются в одной точке.
Но раз так и красные отрезки на картинке выше, и синие равны друг другу. И тогда в треугольнике ECA медиана равна половине стороны, к которой проведена. Значит треугольнике ECA тоже прямоугольный.
Аналогичное заключение можно сделать, проведя полуокружность с центром в точке B, проходящую через точки E, C, D и A.