Продолжаем разбирать задачи 55-го уральского турнира юных математиков. Все геометрические задачи турнира можно посмотреть тут. А за публикациями можно следить на телеграм-канале Олимпиадная геометрия.
Сегодня, в ожидании задач питерской и московской олимпиад, а также задач Romanian Masters, разбираем задачу первого тура высшей лиги в группе 7-го класса, условие которое приведено ниже.
Первый шаг в решении более или менее понятен — отметить равные углы и заметить главное, что прямая AD параллельна биссектрисе BE, поскольку углы при основании равнобедренного треугольника ABD равны как раз по половине угла B (отмечены красным). Это означает, что четырехугольник EGDB является параллелограммом, и поэтому AB=BD=GE. Вторым шагом замечаем, что в четырехугольнике AGBE есть параллельные стороны и равны диагонали, следовательно он оказывается равнобедренной трапецией. Как следствие получаем, что углы EAB и EGB равны. В итоге прямая GB параллельна прямой AC и AGBF — параллелограмм, получили, что AG=BF.
Абсолютно понятно, как модифицируется решение для задачи из более младшей лиги. Суть картинки та же.