Алгебраические преобразования с 55 УТЮМа

Существуют ли различные целые числа x и y такие, что числа (x^2+x)/(y^2+y) и (x^2+2)/(y^2+2) также целые и равны друг другу?

Задача была предложена на командной олимпиаде лиги 7-х классов на 55 Уральском турнире юных математиков, прошедшем в феврале 2020 года в Кирове.

Равенство дробей (x^2+x)/(y^2+y) и (x^2+2)/(y^2+2) означает, что
(x^2+x)(y^2+2)=(y^2+y)(x^2+2).
Раскроем скобки:
x^2y^2+xy^2+2x^2+2x=x^2y^2+yx^2+2y^2+2y.

После несложных преобразований получим
xy(x-y)=2(x^2-y^2)+2(x-y).

Так как x и y различны, то можно разделить на (x-y): xy=2(x+y)+2.

Это уравнение можно переписать в виде (x-2)(y-2)=6, откуда
x-2=6, y-2=1 или
x-2=3, y-2=2 или
x-2=2, y-2=3 или
x-2=1, y-2=6 или
x-2=-6, y-2=-1 или
x-2=-3, y-2=-2 или
x-2=-2, y-2=-3 или
x-2=-1, y-2=-6.

Получаем пары (8,3), (5,4), (4,5), (3,8), (-4,1), (-1,0), (0,-1), (1,-4).

Когда y=0 и y=-1, получается, что y^2+y=0, что грустно, потому что знаменатель первой дроби как раз y^2+y.

Решения (4,5), (3,8), (1,-4) также отбросим, потому что в этих случаях y^2>x^2 и вторая дробь не является целым числом.

Проверим оставшиеся случаи.
Пусть x=8, y=3. Тогда (x^2+2)/(y^2+2)=66/11=6.
Из этого следует, что ответ на вопрос задачи положительный.

Но проверим всё-таки и два оставшихся решения:
x=5, y=4; (x^2+2)/(y^2+2)=27/18=3/2 - нецелое;
x=-4, y=1; (x^2+x)/(y^2+y)=12/2=6 тоже подходит.