Всем привет!
Продолжаем разбирать задачи 55-го уральского турнира юных математиков. Все геометрические задачи турнира можно посмотреть тут. А за публикациями можно следить на телеграм-канале Олимпиадная геометрия.
Сегодня разбираем вторую из задач первого тура высшей лиги старшей группы. Условие задачи было такое.
Конечно, опытный геометр сразу скажет, что задача про векторы, она аффинная и все такое. Но как ее должен решать восьмиклассник, который про векторы еще быть может и не слышал, а если и слышал не владеет ими в совершенстве? На самом деле для него эта задача окажется сложнее, если он не знает замечательного факта про прямую Гаусса. Состоит он в следующем.
Прямая Гаусса. Если противоположные стороны выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точках E и F, то середины отрезков AC, BD и EF лежат на одной прямой.
Кстати, в англоязычной терминологии эту прямую часто называют прямой Ньютона или Ньютона–Гаусса. Доказательств у этого утверждения очень много в том числе и элементарных, одно из них можно прочитать в предыдущей записи.
Обратимся теперь к решению задачи. Первый шаг очень естественный — достроить параллелограмм, продлив синий и красный отрезки BC и AD до пересечения в точке E. Тогда обнаруживаем, что точки M, K и E лежат на одной прямой. Кроме того, точки M, N и середина отрезка EL тоже лежат на одной прямой — прямой Гаусса, построенной по четырехугольнику AKBL. Но тогда прямая MN является средней линией треугольника EKL и параллельная прямой KL.