В лагерь приехало 50 школьников, некоторые из них знакомы. Могло ли так случиться, что для любых двух знакомых школьников найдётся ровно один из остальных, знакомый с обоими, а для любых двух незнакомых школьников найдутся ровно 10 из остальных, незнакомых с обоими?
Задача была предложена на командной олимпиаде на Уральском турнире юных математиков, прошедшем в феврале 2020 года в Кирове.
Нарисуем на плоскости 50 точек, которые будут обозначать школьников, и будем соединять точки красным цветом, если соответствующие этим точкам школьники знакомы. В противном случае будем соединять точки синим цветом.
Каждый красный отрезок входит ровно в один треугольник, поэтому количество красных отрезков кратно трём.
Пусть количество синих отрезков равно b. Каждый синий отрезок входит ровно в 10 треугольников, поэтому количество синих треугольников 10b/3 (делим на три, потому что в треугольнике три отрезка). Это число целое, поэтому количество синих отрезков тоже кратно трём.
Но тогда и суммарное количество красных и синих отрезков кратно трём.
С другой стороны, из каждой точки выходит ровно 49 отрезков. Значит, всего отрезков 50*49/2 (каждый отрезок посчитали два раза, потому что у него два конца). Но число 50*49/2=25*49 не делится на три.
Следовательно, так случиться на могло!