Сто сенаторов и их помощники

В стране 100 сенаторов, у каждого из них ровно 4 помощника. Сенаторы и их помощники состоят в комитетах. Комитет может состоять из 5 сенаторов, или 4 сенаторов и 4 помощников, или 2 сенаторов и 12 помощников. Каждый сенатор состоит в пяти комитетах, а каждый помощник - в трёх. Сколько комитетов в стране?

Задача была предложена на 55 Уральском турнире юных математиков, прошедшем в феврале 2020 года в Кирове.

Решение 1. Давайте придумаем зарплату сенаторов и их помощников так, чтобы в каждом комитете все участники получали поровну.
Пусть зарплата сенатора в каждом комитете составляет x дукатов, а зарплата помощника - y дукатов.
Тогда мы хотим, чтобы выполнялось условие 5x=4x+4y=2x+12y.
Оно будет выполнено, например, когда x=4, y=1.

Каждый сенатор состоит в пяти комитетах. Значит, он получает 20 дукатов. А 100 сенаторов получают 2000 дукатов.
Каждый помощник получает 3 дуката. А 400 помощников получают 1200 дукатов.
Общая зарплата сенаторов и их помощников составляет 3200 дукатов.

Но в каждом комитете все его участники получают в сумме всего по 20 дукатов.

Значит, комитетов 3200/20=160.

Теперь было бы хорошо придумать такое распределение сенаторов и их помощников, чтобы условия задачи выполнялись, но это я оставляю читателям канала.

Решение 2. Теперь давайте изложим решение на алгебраическом языке.
Пусть есть
a комитетов, в которых принимают участие 5 сенаторов;
b комитетов, в которых принимают участие 4 сенатора и 4 помощника;
c комитетов, в которых принимают участие 2 сенатора и 12 помощников.

Тогда
5a+4b+2c=5*100 (считаем все участия сенаторов);
4b+12c=3*400 (считаем все участия помощников).

Разделим второе уравнение на 4
b+3c=300
и сложим с первым
5a+5b+5c=800.

Последнее выражение разделим на 5:
a+b+c=160.

Но ведь a+b+c - это общая сумма всех комитетов!