На Яндекс.Кью спрашивают о великих задачах и математиках, их решающих. И я задумалась: какие же математические задачи мы считаем великими.
Иэн Стюарт,
книгами которого мы все зачитываемся, в книге «Величайшие математические задачи» пишет, что великие задачи несут в себе громадный творческий потенциал: они помогают создавать новую математику. А отличают великую задачу
- интеллектуальная глубина
- простота и изящество
- и еще сложность.
О простоте в задаче Стюарт говорит в одном предложении, а о сложности — в следующем. Одно другому не противоречит, ведь
фундаментальная цель математики — раскрывать внутреннюю простоту сложных на первый взгляд вопросов.
Стивен Смейл
(это он придумал подкову Смейла) по просьбе Владимира Арнольда составлял список величайших математических задач на XXI век.
В свой список он отобрал 18 задач он по таким критериям (кроме личного своего знакомства с темой):
- Простая формулировка; желательно, математически строгая, а еще лучше — с ответом «да» или «нет».
- Вера в то, что вопрос, его решение, пусть даже частичное, или даже просто попытки решения окажут большое влияние на развитие математики в XXI веке.
Владимир Арнольд, конечно, вспоминал о списке задач Гильберта, когда обратился к Смейлу с такой просьбой.
Гильберт
составлял свой список на 100 лет раньше — как программу на XX век. И его критерии я оставила на десерт. Потому что последний мог прийти в голову только гению:
Математическая проблема, далее, должна быть настолько трудной, чтобы нас привлекать, и в то же время не совсем недоступной, чтобы не делать безнадежными наши усилия; она должна быть путеводным знаком на запутанных тропах, ведущих к сокрытым истинам; и она затем должна награждать нас радостью найденного решения.
Чем отличается список задач тысячелетия института Клэя от списков задач Гильберта и Смейла
Бывает, что решения требует конкретная математическая задача, а бывает, что созрел клубок туманных идей, нужно как-то в них разобраться, но внятных гипотез нет. И тут нужна интуиция пронзительной силы, которая подсказывает: пойди туда, зажги в небе путеводную звезду и создай рабочий инструмент, чтобы построить новую теорию.
В 1921 году в нашей стране, растерзанной голодом, холодом, разрухой и зарубежными партнерами, маститый математик Дмитрий Фёдорович Егоров поставил молодому математику Павлу Самуиловичу Урысону задачу: дать определение — что такое линия. Вроде бы все слова здесь понятны, почиркай карандашом — вот и линия. Однако к тому времени уже были известны линии очень экзотические, и возникла нужда в определении-рабочем инструменте для выяснения очень тонких математических вопросов. Урысон не только дал определение линии, но еще и рассмотрел более общий вопрос.
Вот есть у нас объект какой-то геометрический. Что он собой представляет — линию, поверхность, тело? Какова размерность этого объекта? Урысон создал рабочее определение размерности геометрического объекта, заложил основы теории размерности и всерьез продвинул топологию. Он погиб совсем молодым, купаясь в шторм, но созданные им инструменты позволили работать другим математикам, а зажженные звезды осветили им путь.
Гильберт и Смейл не только перечисляют недоказанные гипотезы, но еще ставят задачи-звезды типа создать теорию или инструмент.
Например, 23-я проблема Гильберта: развитие методов вариационного исчисления.
Или 8-я Смейла: Расширение математической теории общего равновесия на экономическую теорию.
В списке от института Клэя ничего подобного нет и быть не может.
Ты не можешь назначить миллион за зажженную звезду, она бесценна. А если и назначишь, пройдохи с адвокатами замучают тебя исками, доказывая, что уж они-то зажгли не по-детски.