Существует ли такая непериодическая функция f, определённая на всей числовой прямой, что при любом x выполнено равенство
f(x+1)=f(x)f(x+1)+1 ?
Задача была предложена на Московской математической олимпиаде 2020 года в варианте 11 класса. Автором указан "фольклор". Если читатели укажут, где эта задача была раньше, я буду весьма благодарен.
А решение состоит в том, чтобы поиграть с дробно-рациональными выражениями и доказать периодичность.
Из условия следует, что
f(x+1)=1/(1-f(x)).
Рассмотрим теперь f(x+2):
f(x+2)=1/(1-f(x+1))=1/(1-1/(1-f(x)))=1-1/f(x).
А теперь рассмотрим ещё f(x+3):
f(x+3)=1/(1-f(x+2))=1/(1-(1-1/f(x)))=f(x).
Как и ожидалось, функция получилось периодическая. Как видно из выкладок, период T=3.
2