Как Корней математически доказал, что они с Пантелеем одного роста
— Корней, а почему это плато так называется: Итакдалия?
— Ну… Википедия говорит, что оно расположено довольно высоко, и поэтому здесь гуляют дикие ветры. Из-за выветривания сформировались причудливые каменные колонны, стоявшие в ряд как доминошки. И однажды жуткий ветер толкнул одну плиту-доминошку. Она упала и толкнула следующую. От толчка та упала тоже и толкнула ещё одну. И так далее. Так они упали все и образовали удивительное каменистое плато, которое так и называли — Итакдалия.
— Надо же, а вот в математике «и так далее» просто так сказать нельзя. Когда мы доказываем, что-нибудь про «и так далее», надо применять метод математической индукции. Он тоже работает по принципу домино.
Как работает индукция
Скажем, мы хотим доказать, что сумма первых нескольких нечетных чисел равна квадрату целого числа:
Здесь у нас есть нумерованные предложения:
Сначала надо убедиться, что верно первое:
1=1².
— А-а-а, знаю! Потом мы проверим второе, потом третье, потом четвертое, а потом итакдалее!
— Нет, Корней, никаких итакдалеев! Потом мы проверим роняющее правило: что каждая доминошка с номером N роняет доминошку с номером N+1. Нам надо показать, что из утверждения с номером N следует утверждение с номером N+1.
То есть что из 1+2+3+…+(2N-1)=N²
следует 1+2+3+…+(2N-1) +(2N+1)=(N+1)²
А это очевидно:
Если мы знаем, что
· первое предложение верно,
· каждое предложение влечет за собой следующее,
то по принципу математической индукции верны все предложения в цепочке.
Это как с домино: если каждая доминошка роняет следующую, то как только мы уроним первую, он упадут все.
— Но ведь тогда по принципу математической индукции можно доказать что угодно!
— Да ладно. Вот докажи что мы с тобой одного роста.
Как индукцию практиковал Корней
— Изволь! Вот у меня нумерованные предложения:
№1: В любой группе из 1 цыпленка все одного роста
№2: В любой группе из 2 цыплят все одного роста
№3: В любой группе из 3 цыплят все одного роста
...................................................................................................
№ N: В любой группе из N цыплят все одного роста
№ N+1: В любой группе из N+1 цыплят все одного роста
Первое предложение явно верно. Разберемся с переходом от N к N+1.
Пусть в любой группе из N цыплят все одного роста. Возьмем произвольную группу из N+1 цыплят и всех перенумеруем. По предположению все цыплята с номерами от 1 до N одного роста; все цыплята с номерами с номерами от 2 до N+1 — тоже одного роста. Но цыплята с номерами от 2 до N не успели подрасти, пока я тебе все это рассказываю, даже если их пичкали гормонами роста. Поэтому в любой группе из N+1 цыплят все одного роста.
Задачка.
Видимо, в доказательстве того, что все цыплята одного роста, есть ошибка. Где именно?
И еще