По мотивам САММАТ-2020. Многочлен с целыми коэффициентами.

Существует ли многочлен с целыми коэффициентами
P(x)=x^n+a[1]x^(n-1)+a[2]x^(n-2)+...+a[n-1]x+a[n]
и различные целые числа b[1], b[2], b[3], b[4], b[5], b[6], k
такие, что
P(b[1])=P(b[2])=P(b[3])=P(b[4])=P(b[5])=P(b[6])=1945;
P(k)=2020.

Эта формулировка кажется мне удачнее той, что была на олимпиаде САММАТ-2020.

Используя теорему Безу, можно записать многочлен P(x) в виде
P(x)=(x-b[1])(x-b[2])(x-b[3])(x-b[4])(x-b[5])(x-b[6])Q(x)+1945,
где Q(x) - некоторый приведённый многочлен с целыми коэффициентами степени (n-6).

Подставим x=k:
P(k)=2020=(k-b[1])(k-b[2])(k-b[3])(k-b[4])(k-b[5])(k-b[6])Q(k)+1945.

Но тогда
(k-b[1])(k-b[2])(k-b[3])(k-b[4])(k-b[5])(k-b[6])Q(k) =75.

Что это означает? А то, что число 75 надо представить в виде произведения семи целых множителей, шесть из которых различны (Q(k) вполне может быть равен одному из первых шести сомножителей).
Но 75=3*5^2.
Это означает, что в произведение войдёт не более трёх различных множителей, отличных по модулю от 1. Вместе с числами 1 и -1 число различных множителей достигнет максимум пяти, а нам необходимо их шесть. Противоречие!