Где-то неделю назад на канале известного youtube-преподавателя Бориса Трушина вышло новое видео из серии “В интернете кто-то неправ”. Это одна из самых интересных рубрик у него на канале, которую я рекомендую изучить всем, кто хочет глубже понять математику.
Однако, в последнем видео есть один момент, который стоит прокомментировать отдельно, так как это затрагивает не только разбираемый вопрос (в ролике обсуждаются локальный минимум и максимум), но и общий подход к преподаванию математики в целом.
*********
Сначала коротко о сути замечаний Бориса Трушина. Подавляющее большинство преподавателей на youtube, да и вообще в школах, излагают материал по теме “Производная функции и её экстремумы” довольно упрощённо. Чаще всего не используется строгое понятие окрестности точки, а объяснение идёт буквально на пальцах и конкретных примерах из ограниченного класса функций. Именно в такой манере и объясняет решение задач на минимум и максимум Артур Шарифов. Однако, в чистой математике, а точнее в математическом анализе, есть строгое понятие локального экстремума. И оно отличается от того, что преподают в обычной школе. Для этого понятия такое упрощённое объяснение попросту неверно, на что и указывает Борис Трушин. И как математик я с ним полностью согласен. В своём разборе он очень грамотно излагает суть проблемы и строит красивый контрпример. Однако, как преподаватель я хочу сказать пару слов в защиту Артура.
В подобных спорных вопросах нужно всегда учитывать контекст и уровень аудитории. На канале Бориса Трушина собираются ученики, которые уже неплохо знают математику, или же преподаватели, у которых учатся такие ученики. Очень часто абитуриенты, которые смотрят видео Бориса, нацелены на поступление в топ-вузы с высоким уровнем математики или уже там учатся. Для них в качестве факультатива можно копнуть в этой области поглубже, разобраться со строгими определениями и поиграться с какими-то более интересными вещами. Например, разобрать функции Дирихле и Римана (первая всюду разрывна, а вторая разрывна в иррациональных точках, но непрерывна в рациональных) или обсудить функцию Вейерштрасса (везде непрерывна, но ни в какой точке не имеет производной).
Но те, кто смотрит Шарифова, вряд ли пойдут смотреть видео Трушина. И наоборот. Аудитории Шарифова не интересен Трушин. У них разный уровень начальных знаний для понимания математики. А эти две категории зрителей, в свою очередь, не будут смотреть какой-нибудь трешовый канал вроде “Математика без х..ни”. Также к тому же Борису вряд ли пойдут те крутые олимпиадники, у кого есть персональные сильные тренеры и для которых излагаемый материал скучен из-за своей простоты и очевидности. Это всё разные ученики и им нужна разная строгость изложения и глубина проработки материала. Конечно, Борис Трушин математически более прав, но не всегда эту правду нужно вываливать всем ученикам. Они должны до неё дозреть. Вряд ли стоит говорить о локальном максимуме тем старшеклассникам, которые еле-еле понимают, что такое функция, или нетвёрдо умеют решать квадратные уравнения. А таких учеников очень много. И Борис Трушин в силу специфики своей работы, скорее всего не сталкивается с такими учениками и не догадывается об уровне массовой математической подготовки школьников.
Описанное выше касается не только содержания контента. Даже форма подачи одного и того же материала может отпугнуть одну и привлечь другую аудиторию. Если Борис Трушин или Артур Шарифов перестанут выпускать видео и выберут другой способ изложения материала (например, начнут общаться со своими учениками только в текстовом формате или делать только живые лекции), то это тоже повлияет на общий уровень пришедших к ним учеников.
Но вернёмся к самому видео, а именно к вот такому его отрывку, посвященному философии преподавания математики в школе. Именно он и стал причиной написания этой статьи.
“Понятно, что такие люди пытаются оправдаться тем фактом, что они не учат математике. Что они учат школьников решать ЕГЭ, в котором бывает только так. Мол, зачем школьникам пудрить мозги и рассказывать настоящую математику, если можно просто натаскать на ЕГЭ и рассказать им враньё, но которое поможет им решить задачи. Ну вот мне кажется это очень спорный подход к изучению математики. Мне кажется, что первую очередь нужно, чтобы школьник понял математику и только поняв её глубоко, он сможет решить любой экзамен. Поэтому мне кажется, что нужно сначала честно рассказать, как есть на самом деле (может быть без доказательств, но честно рассказать) и только потом сказать, что вот в тех задачах из ЕГЭ бывает только так.”
Конечно, Борис прав в том, что натаскивание на ЕГЭ очень неэффективная стратегия. На нашем канале мы всячески пропагандируем занятия вузоматикой для более обширного понимания школьной математики. Также мы стараемся бороться с магическим мышлением, которому в нашем журнале посвящена серия статей. Однако, на многие вещи в школьной программе правильней просто закрывать глаза и не закапываться в них слишком глубоко. С методической точки зрения, излишний акцент на таких узких местах и строгая математичность изложения, наоборот, мешают. Даже сильным ученикам.
А примеров таких узких мест — масса. Из геометрии: «В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам». Но кто сказал, что они пересекаются? Если подходить к этому вопросу строго математически, то сперва нам нужно доказать это. А это нетривиальный вопрос, требующий отдельного доказательства вне рамок обычной школьной программы. Или проблема с переходом степени с рациональным показателем к показательной функции. Ведь нужно как-то объяснить, почему мы имеем право перейти к непрерывной функции. Однако, в массовой школе про это не упоминают. И правильно делают! Незачем грузить учеников лишней информацией, до которой в вузе они потом спокойно дойдут.
Продвижение же Борисом Трушиным научного и более глубокого изучения формальной “настоящей” математики в школе напоминает баталии, которые развернулись в СССР по поводу колмогоровской реформы и понятия вектора. Спор об этом дошёл даже до руководства страны. Суть проблемы была в том, что после внедрения новых учебников и методик преподавания школьники массово перестали понимать математику. А в качестве иллюстрации причин такого массового незнания приводился пример понятия вектора. Раньше ученики учили такое разумное определение: “Вектор — это направленный отрезок”. Благо сейчас в школах он определяется так же. Однако, в реформированных учебниках можно было встретить иное, более “правильное” определение: “Вектором (параллельным переносом), определяемым парой (А, В) несовпадающих точек, называется преобразование пространства, при котором каждая точка М отображается на такую точку М1, что луч ММ1 сонаправлен с лучом АВ и расстояние [ММ1] равно расстоянию |АВ|” . И такие оторванные от нормального преподавания математики термины были разбросаны по всем учебникам. Это касается и самого учебника Колмогорова, который был математически строгим, но методически совершенно бездарным. А термин “конгруэнтность”, используемый вместо интуитивно понятного всем школьникам термина “равенство” для геометрических фигур, надолго стал синонимом преподавания извращённой, но научно правильной математики.
Конечно, вопрос преподавания математики в массовой школе сложнее, чем я описал. Всех тонкостей не перечислить, и это не является нашей задачей. Однако, я хочу донести до вас одну мысль: при любом обсуждении школьной программы, должны учитываться мнения не столько профессиональных математиков, которые больше занимаются чистой наукой или подготовкой сильных абитуриентов, а тех учителей и методистов, которые работают в школах с реальными учениками разного уровня. И конечно, нужно очень подробно и глубоко изучать то, что происходило с советским и российским математическим образованием последние сто лет.