САММАТ-2020. Сумма двух квадратов, дающая 19451945

На прошедшей 16 февраля 2020 года олимпиаде САММАТ-2020 предлагалась задача

Найдите пару натуральных чисел x и y таких, что
x^2+y^2=19451945.

Сначала эта задача кажется очень страшной. Как же, надо найти два числа, квадраты которых дают в сумме что-то восьмизначное! Но всё же сделаем попытку решить. Разложим числа из правой части на множители:
19451945=10001*1945=10001*389*5,
после чего разложим каждый из сомножитель на сумму квадратов:
10001=100^2+1^2;
389=17^2+10^2;
5=2^2+1^2.

Как же нам поможет такое разложение? А вот как!
Имеет место формула, которую иногда называют тождеством Эйлера:
(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2.

Проверить её можно, просто раскрыв скобки. Но можно доказать её и по-другому, если рассмотреть два комплексных числа z=a+ib, w=c+id и воспользоваться тем, что модуль произведения чисел равен произведению их модулей.

Но, как бы мы не доказывали эту формулу, теперь её надо применить:
(17^2+10^2)(2^2+1^2)=24^2+37^2
(100^2+1^2)(24^2+37^2)=2363^2+3724^2

Итак, мы пару таких чисел: 2363 и 3724.
А есть ли ещё такие пары?
Ну, можно, например, переставить местами 24^2 и 37^2:
(100^2+1^2)(37^2+24^2)=3676^2+2437^2.

Все есть 8 представлений числа 19451945. Их несложно найти с помощью целых гауссовых чисел, но это уже совсем другая история.
Впрочем, читатели могут найти их, переставляя сомножители и слагаемые, как это было сделано выше.