Когда сумма факториалов - степень двойки

Найдите все четвёрки натуральных чисел (a,b,c,n) такие, что
a!+b!+c! = 2^n
(здесь восклицательный знак означает факториал).

Задача была предложена на 54 Уральском турнире юных математиков.

Без ограничения общности будем считать, что a>=b>=c.

Если c хотя бы 3, то все слагаемые в левой части делятся на 3. Следовательно, это не может быть степенью двойки.

Значит, c=1 или c=2. Разберём эти случаи.

Пусть c=1.
Тогда, если b хотя бы 2, то a! и b! чётны. Тогда сумма a!+b!+1 нечётна. Следовательно, она не может быть степенью двойки.
Значит, b=1.
Тогда a!=2^n-2.
Ой, но тогда a! не делится на 4.
Т.е. a<=3.
Если a=3, то n=3. Если a=2, то n=2.

Пусть c=2, т.е. a!+b!=2^n-2. Если b>=4, то a!+b! выражение делится на 4, но при этом равно 2^n-2. Противоречие!
То есть, b=2 или b=3

Если b=c=2, то a!=2^n-4.
Но тогда a! делится на 4, но не делится на 8. Таких факториалов не бывает!

Остался случай b=3, c=2. Тогда a!=2^n-8.
Это выражение делится на 8 и не делится на 16, т.е. a=4 или a=5.
Если a=4, то a!=2^n-8 при n=5.
Если a=5, то a!=2^n-8 при n=7.