Любитель математики обнаружил интересный факт: существует простое 13-значное число, первые 12 цифр которого одинаковы. Мы не просим вас найти это число. Ответьте, какая у него последняя цифра?
Эта несложная задача про признаки делимости была предложена на 54 Уральском турнире юных математики в ноябре 2019 года.
Сразу понятно, что число не может заканчиваться на 5 и на чётные цифры.
Следующим простым шагом является то, что если число заканчивается на 3 или 9, то сумма цифр числа делится на 3. Значит, и число делится на 3.
Остался выбор: 1 или 7?
Но можно понять, что число aaaaaaaaaaaa7 делится на 7, потому что
aaaaaaaaaaaa7=a*1000001*111111+7= a*1000001*111*1001+7= a*1000001*111*7*11*13+7 делится на 7.
У меня в связи с этими вычислениями возникла ассоциацией с задачей про несколько семизначных чисел.
Остался единственный вариант цифры на конце - 1.
Интересно, что авторы задачи не обманули, и такое число действительно существует. Это число - 5555555555551.
3