Пусть a,b,c,d - действительные числа такие, что
a+sin b > c+sin d,
b+sin a > d+sin c.
Докажите, что a+b>c+d.
Эта задача 496 из "задачного уголка" журнала "Mathematical Excalibur".
Вспомним, что при x>0 имеет место неравенство sin(x)<x и проделаем немного выкладок:
a-c > sin d-sin b = 2cos[(d+b)/2]sin[(d-b)/2] ≥ -2|sin((d-b)/2)|;
d-b < sin a-sin c = 2cos[(a+c)/2]sin[(a-c)/2] ≤ 2|sin((a-c)/2)|.
Если a ≥c, то d-b<2|sin((a-c)/2)|≤a-c.
Аналогично, если d≤b, то a-c >-2|sin((b-d)/2)| ≥ -2((b-d)/2) = d-b.
Кроме того, если a-c < 0 < d-b,
то –(a-c) < 2|sin((d-b)/2)| ≤ d-b
и
d-b < 2|sin((a-c)/2)| = |sin((c-a)/2)| ≤ c-a.
В этом случае получили противоречие.